Definición y áreas de interés Proyecto
Salón Hogar
L a G r a n E n c i c l o p e d
i a I l u s t r a d a d e l P r o y e c t o S a l ó n H o
g a r
Ley de Hooke
En la Física no sólo hay que observar y
describir los fenómenos naturales, aplicaciones tecnológicas o
propiedades de los cuerpos sino que hay explicarlos mediante
leyes Físicas. Esa ley indica la relación entre las magnitudes
que intervienen en el Fenómeno físico mediante un análisis
cualitativo y cuantitativo. Con la valiosa ayuda de las
Matemáticas se realiza la formulación y se expresa mediante
ecuaciones, entregando como resultado una Ley. Por ejemplo, la
Ley de Hooke establece que el
límite de la tensión elástica de un cuerpo es directamente
proporcional a la fuerza. Mediante un análisis e interpretación
de la Ley de Hooke se estudia
aspectos relacionados con la ley de fuerzas, trabajo, fuerzas
conservativas y energía de Resortes .
Los resortes son un modelo bastante interesante en la
interpretación de la teoría de la elasticidad.
Elasticidad y resortes
La fuerza electromagnética básica a nivel
molecular se pone de manifiesto en el momento de establecerse
contacto entre dos cuerpos. La vida diaria está llena de fuerzas
de contacto como por ejemplo cuerdas, resortes, objetos apoyados
en superficies, estructuras, etc. En todos los cuerpos sólidos
existen fuerzas contrarias de atracción y repulsión, pero entre
las propiedades más importantes de los materiales están sus
características elásticas .
Si un cuerpo después de ser deformado por una
fuerza, vuelve a su forma o tamaño original cuando deja de
actuar la fuerza deformadora se dice que
es un cuerpo elástico
. Las fuerzas elásticas
reaccionan contra la fuerza deformadora para mantener estable la
estructura molecular del sólido.
Ley de
Hooke: “Cuando se trata de deformar un sólido,
este se opone a la deformación, siempre que ésta no sea
demasiado grande”
Fue Robert Hooke (1635-1703),
físico-matemático, químico y astrónomo inglés, quien primero
demostró el comportamiento sencillo relativo a la elasticidad de
un cuerpo. Hooke estudió los efectos producidos por las fuerzas
de tensión, observó que había un aumento de la longitud del
cuerpo que era proporcional a la fuerza aplicada.
Hooke estableció la ley fundamental que relaciona la fuerza
aplicada y la deformación producida. Para una deformación
unidimensional, la Ley de Hooke
se puede expresar matemáticamente así:
= -k
K es la
constante de proporcionalidad o de elasticidad.
es la deformación,
esto es, lo que se ha comprimido o estirado a partir del
estado que no tiene deformación. Se conoce también como el
alargamiento de su posición de equilibrio.
es la fuerza
resistente del sólido.
El signo ( -
) en la ecuación se debe a la fuerza restauradora que
tiene sentido contrario al desplazamiento. La fuerza se
opone o se resiste a la deformación.
Las unidades son: Newton/metro (New/m)
– Libras/pies (Lb/p).
Si el sólido se deforma mas allá
de un cierto punto, el cuerpo no volverá a su tamaño o
forma original, entonces se dice que ha adquirido una
deformación permanente.
La fuerza más pequeña que produce deformación se llama
límite de elasticidad .
El límite de elasticidad es la máxima longitud que puede
alargarse un cuerpo elástico sin que pierda sus características
originales. Más allá del límite elástico las fuerzas no se
pueden especificar mediante una función de energía potencial,
porque las fuerzas dependen de muchos factores entre ellos el
tipo de material.
Para fuerzas deformadoras que sobrepasan el límite de
elasticidad no es aplicable la Ley de
Hooke.
Por consiguiente, mientras la amplitud de la vibración sea
suficientemente pequeña, esto es, mientras la deformación no
exceda el límite elástico, las vibraciones mecánicas son
idénticas a las de los osciladores armónicos.
Modulo de elasticidad
La relación entre cada uno de los tres tipos de esfuerzo
(tensor-normal-tangencial) y sus correspondientes deformaciones
desempeña una función importante en la rama de la física
denominada teoría de elasticidad
o su equivalente de ingeniería,
resistencias de materiales. Si se dibuja una gráfica del
esfuerzo en función de la correspondiente deformación, se
encuentra que el diagrama resultante esfuerzo-deformación
presenta formas diferentes dependiendo del tipo de material.
En la primera parte de la curva el esfuerzo y la
deformación son proporcionales hasta alcanzar el punto
H , que es el límite de
proporcionalidad . El hecho de que haya una región en la que el
esfuerzo y la deformación son proporcionales, se denomina
Ley de Hooke .
De H a E
, el esfuerzo y la deformación son proporcionales; no
obstante, si se suprime el esfuerzo en cualquier punto situado
entre O y
E , la curva recorrerá el itinerario inverso y el
material recuperará su longitud inicial.
En la región OE , se dice que el
material es elástico o que
presenta comportamiento elástico, y el punto
E se denomina
límite de elasticidad o punto
cedente. Hasta alcanzar este punto, las fuerzas ejercidas por el
material son conservativas; cuando el material vuelve a su forma
original, se recupera el trabajo realizado en la producción de
la deformación. Se dice que la deformación es reversible.
Si se sigue cargando el material, la deformación aumenta
rápidamente, pero si se suprime la carga en cualquier punto más
allá de E , por ejemplo
C , el material no recupera su
longitud inicial. El objeto pierde sus características de
cohesión molecular. La longitud que corresponde a esfuerzo nulo
es ahora mayor que la longitud inicial, y se dice que el
material presenta una deformación
permanente . Al aumentar la carga más allá de
C , se produce gran aumento de la
deformación (incluso si disminuye el esfuerzo) hasta alcanzar el
punto R , donde se produce la
fractura o ruptura. Desde E hasta
R , se dice que el metal sufre
deformación plástica .
Una deformación plástica es irreversible. Si la deformación
plástica entre el límite de elasticidad y el punto de fractura
es grande, el metal es dúctil. Sin embargo, si la fractura tiene
lugar después del límite de elasticidad, el metal se denomina
quebradizo.
La mayor parte de las estructuras se diseñan para sufrir
pequeñas deformaciones, que involucran solo la parte lineal del
diagrama esfuerzo-deformación, donde el esfuerzo
P es directamente proporcional a la
deformación unitaria D y puede
escribirse: P = Y.D. Donde Y
es el módulo de elasticidad o módulo de
Young.
Resortes
El resorte es un dispositivo fabricado con un material
elástico, que experimenta una deformación significativa pero
reversible cuando se le aplica una fuerza. Los resortes se
utilizan para pesar objetos en las básculas de resorte o para
almacenar energía mecánica, como en los relojes de cuerda. Los
resortes también se emplean para absorber impactos y reducir
vibraciones, como en los resortes de ballestas (donde se apoyan
los ejes de las ruedas) empleados en las suspensiones de
automóvil.
La forma de los resortes depende de su uso.
En una báscula de resorte, por ejemplo, suele estar arrollado en
forma de hélice, y su elongación (estiramiento) es proporcional
a la fuerza aplicada. Estos resortes helicoidales reciben el
nombre de muelles. Los resortes de relojes están arrollados en
forma de espiral. Los resortes de ballesta están formados por un
conjunto de láminas u hojas situadas una sobre otra.
Sistemas de resortes
Los resortes se pueden configurar en sistemas en serie y
paralelo.
Sistemas de resorte en serie
Cuando se dispone los resortes uno a continuación del
otro.
Para determinar la constante elástica equivalente (keq)
se define de la siguiente manera:
Por ejemplo:
Para dos resortes iguales
la constante de elasticidad del sistema es:
k / 2
Para n resortes iguales la constante
de elasticidad del sistema es: k /
n. Si se coloca dos resortes diferentes en serie la
constante de elasticidad equivalente del sistema es:
Sistema de resortes en paralelo
Cuando los resortes tienen un punto común de conexión.
Para determinar la constante elástica equivalente
( keq) se define de la
siguiente manera:
Por ejemplo:
Para dos resortes iguales la constante de elasticidad del
sistema es; 2k.
Para n resortes iguales la constante
de elasticidad del sistema es: n k Para dos resortes diferentes en paralelos la constante de
elasticidad del sistema es:
k = k1
+ k2
Ley de fuerzas de
resortes
La ley de fuerza para el resorte es la
Ley de Hooke.
Conforme el resorte está estirado (o comprimido) cada vez
más, la fuerza de restauración del resorte se hace más grande y
es necesario aplicar una fuerza mayor. Se encuentra que la
fuerza aplicada F es directamente
proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del
resorte. Esto se puede expresar en forma de una ecuación.
O con X 0 = 0 ,
F = kX
Como se puede ver la fuerza varía con
X. Esto se expresa diciendo que la
fuerza es una función de la posición. La k
en esta ecuación es una constante de proporcionalidad y
comúnmente se llama la constante del
resorte o de la fuerza restauradora . Mientras mayor sea
el valor de k, más rígido o fuerte
será el resorte .
La anterior relación se mantiene sólo para los resortes ideales
. Los resortes verdaderos se aproximan a esta relación lineal
entre fuerza y desplazamiento, dentro de ciertos límites. Por
ejemplo, si un resorte se estira más allá de un cierto punto,
llamado el límite de elasticidad , se puede deformar y
F = kX no
se aplica más.
Un resorte ejerce una fuerza ( Fs)
igual y opuesta
Fs
= - kX Fs = -k
(X - X 0)
El signo menos indica que la fuerza del resorte está en la
dirección opuesta al desplazamiento si el resorte se estira o se
comprime. Esta ecuación es una forma de lo que se conoce como
Ley de Hooke .
La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte que se ha
estirado desde su posición de reposo (X
0) a una posición X.
La posición de referencia X 0
para el cambio en la longitud de un resorte es arbitraria. La
magnitud importante es la diferencia del desplazamiento o el
cambio neto en la longitud del resorte.
También dado que el desplazamiento tiene posición vertical, las
X con frecuencia se reemplazan por
Y. Los resortes dan lugar al
Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Ejemplo:
Ley de fuerza de Resortes
Una masa de 0,30 Kg está suspendida de un resorte vertical y
desciende a una distancia de 4,6 cm después de la cual cuelga en
reposo. Luego se suspende una masa adicional de 0,50 Kg de la
primera. ¿Cuál es la extensión total del resorte?
Datos:
m1= 0,30 Kg
m2= 0,50 Kg
X1=
4,6 cm = 0,046 m
g = 9,8 m/seg2
X = ? (Longitud de
alargamiento total)
Solución:
La distancia de alargamiento o estiramiento total está dada por
F = kX Donde F es la fuerza aplicada,
en este caso el peso de la masa suspendida sobre el resorte
F1
= m1.
g = kX1
k =
63,9 New / m
Conociendo k, la extensión total
del resorte se encuentra a partir de la situación de la fuerza
equilibrada:
F = (m1
+ m2).g
= kX
Así:
X = (0,30 kg + 0,50 Kg) . 9,8
m / seg2 / 63,9 New / m
X
= 0,12 m = 12 cm.
Trabajo realizado por resortes
El trabajo también lo puede realizar una fuerza que varía
en magnitud o dirección durante el desplazamiento del cuerpo
sobre el que actúa. Un ejemplo de una fuerza variable que hace
un trabajo es un resorte. Así cuando se tira lentamente de un
resorte, la fuerza necesaria para estirarlo aumenta gradualmente
a medida que el resorte se alarga. Considere una masa
m ligada horizontalmente a un
resorte. Al aplicar una fuerza
sobre la masa, a fin
de estirar el resorte, se logra que la masa
m se desplace respecto a la posición
X 0 que ocupaba inicialmente.
Si se realiza este movimiento con velocidad constante, es
evidente que la masa no gana energía cinética, y si el
movimiento se realiza horizontalmente tampoco gana energía
potencial gravitatoria. ¿En qué tipo de energía se ha convertido
el trabajo realizado sobre la masa al desplazarla?
La fuerza ejercida según la Ley de Hooke
es :
= -
k
Se calcula el área bajo la curva para una compresión
X, y esta área corresponde a la
medida de la energía transferida cuando se empuja el resorte, y
por lo tanto igual al trabajo realizado cuyo valor es
numéricamente igual al área del triángulo.
O simplemente la pendiente de la gráfica es
k. se incrementa
uniformemente con X. La fuerza
promedio ( prom)
es:
Si
Así el trabajo realizado al estirar o comprimir el resorte
es:
El trabajo realizado es :
El trabajo de estirar un resorte de la posición
X1 a X2
es:
Fuerza conservativas de
resortes
La Ley de Hooke representa
una fuerza conservativa de característica variable.
Cuando un objeto unido a un resorte se mueve desde un valor de
alargamiento del resorte a cualquier otro, el trabajo de la
fuerza elástica es también independiente de la trayectoria e
igual a la diferencia entre los valores final e inicial de una
función denominada energía potencial
elástica. Si únicamente actúa sobre el objeto la fuerza
elástica, se conserva la suma de las energías cinética y
potencial elástica; por tanto, la fuerza elástica es una fuerza
conservativa.
Si se toma un resorte de masa despreciable
sujeto por uno de sus extremos a una pared y un bloque de masa
m; ambos en el piso de manera que si
se impulsa al bloque, este se dirigirá hacia el resorte con una
velocidad constante
(considerando
que la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso es nula).
Así que la única fuerza exterior que actúa sobre el movimiento
de este cuerpo proviene del resorte. A medida que el bloque va
comprimiendo al resorte su velocidad (y energía cinética)
disminuye hasta detenerse. Aplicando la
Ley de Hooke se puede calcular la compresión que se
produce.
Después de esto el bloque invierte el sentido de su movimiento
y, con igual dirección, va ganando velocidad a medida que el
resorte vuelve a su longitud original; en ese momento el bloque
tiene la misma velocidad (signo opuesto) que tenía antes de
comprimir el resorte.
El bloque pierde energía cinética durante una parte de su
movimiento pero la recupera totalmente cuando regresa al punto
de partida. Hay que recordar que la variación de la energía
cinética indica que existe trabajo mecánico; es claro que, al
término de un viaje de ida y vuelta, la capacidad del bloque
para hacer trabajo permanece igual; ha sido
conservada. La fuerza elástica ejercida
por el resorte ideal y otras fuerzas que se comportan de la
misma manera, se les denomina fuerzas conservativas. Las
fuerzas que no son conservativas se le denominan disipativas.
La fuerza de gravedad es la típica
representante de las fuerzas conservativas
Se puede definir una fuerza conservativa desde otro punto de
vista, el del trabajo hecho por la fuerza. Si no hay cambio en
la energía cinética de un cuerpo, el trabajo hecho sobre él debe
ser cero si la trayectoria es cerrada. T
= Ec
= 0.
La fuerza del resorte debe ser conservativa
porque el trabajo efectuado a lo largo de cualquier trayectoria
siempre es igual.
Energía potencial de
Resortes
La energía potencial (Ep)
almacenada en un resorte estirado o comprimido esta dada por:
(Energía potencial elástica)
Esto es igual al trabajo hecho por el resorte.
Energía cinética de Resortes
La energía Cinética de un cuerpo es igual al trabajo que
puede hacer antes de quedar en reposo. Una masa
m que oscila en un resorte tiene
energía cinética ( Ec).
Así las energías cinéticas y potencial juntas dan la energía
mecánica total del sistema
Luego del análisis a un resorte que se comprime
una distancia X 0. Durante
un período o ciclo, la masa pasa por X
= 0, llega un estiramiento X =
X 0 y regresa a
X= - X 0. Al moverse la masa varían las energías cinética y
potencial asociados con el sistema masa-resorte. Esas energías
están en una relación inversamente proporcional. Una aumenta al
disminuir la otra.
En resumen la Ley de Hooke es la
base de todos los fenómenos elásticos, en particular de los
resortes. Las observaciones de Robert Hooke permanecen ciertas y
todavía proveen los fundamentos de la ciencia de la elasticidad
moderna.
= -
X
Si
(considerando
que la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso es nula).
Así que la única fuerza exterior que actúa sobre el movimiento
de este cuerpo proviene del resorte. A medida que el bloque va
comprimiendo al resorte su velocidad (y energía cinética)
disminuye hasta detenerse. Aplicando la
Ley de Hooke se puede calcular la compresión que se
produce. 
(Energía potencial elástica)
