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L  a  G r a n  E n c i c l o p e d i a   I l u s t r a d a  d e l   P r o y e c t o  S a l ó n  H o g a r

 

 
Relación con el MCU
 


 


 

 Hay una conexión cercana entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme, (que es periódico pero no oscilatorio). El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme en cualquier diámetro. Para un mejor entendimiento del tema se debe comprobar que esa proyección ortogonal del movimiento circular uniforme (MCU) de una partícula sobre un plano vertical es un M.A.S. Esta proyección se logra utilizando una fuente luminosa sobre el MCU.
En el M.A.S la aceleración de la partícula es proporcional a su desplazamiento desde su posición de equilibrio, y es de sentido contrario a su desplazamiento, es decir: ; Donde K es constante.

El movimiento de la proyección ortogonal de la partícula en un plano vertical, el movimiento se sucede en un segmento de recta que coincide con el diámetro de la circunferencia descrita. Para demostrar que el movimiento de dicha proyección ortogonal es un M.A.S. se tiene que probar que el cociente es una constante para todos los valores de X.
Sea V  la rapidez de la partícula y la aceleración centrípeta, la cual está dirigida hacia el centro de la circunferencia de radio R.

 
Se proyecta el movimiento de la partícula P sobre el diámetro , donde P' es la proyección ortogonal de P sobre dicho diámetro.

P' se mueve con movimiento oscilatorio entre los puntos extremos del diámetro. Cuando la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria con MCU, la proyección P' se mueve a uno y otro lado del centro 0, a lo largo del diámetro , es decir, cuando P da una vuelta completa, P' dará una oscilación sobre el diámetro.
Cualquiera que sea la posición, velocidad, aceleración de la partícula P , su proyección ortogonal sobre el diámetro determina igualmente la posición, velocidad y aceleración de P'.

Observe que la aceleración centrípeta se ha descompuesto en sus dos componentes rectangulares y que como puede verse la segunda es paralela al diámetro .

La aceleración centrípeta en el MCU:

Los triángulos OPP' y el formado por los vectores y , los cuales son semejantes. ¿Por qué? Ambos son triángulos rectángulos y tiene un ángulo en común (Vértice P), luego, sus lados respectivos son proporcionales:

 
; reemplazando y despejando a, la aceleración de P´
Como la rapidez (V) y el radio (R)
son constante, el cociente. Por lo que la anterior ecuación es de la forma
a = - k x que indica que la aceleración es la aceleración de P' es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario a él.

Finalmente se puede expresar que el movimiento circular uniforme se puede considerar como una combinación de dos movimientos armónico simple.

Un movimiento armónico simple es la proyección de la trayectoria de un movimiento circular uniforme sobre uno de los diámetros vertical u horizontal .


Período y Frecuencia de un M.A.S
Partiendo de la rapidez del MCU
despejando T se tiene: de donde resulta que:

Elevando al cuadrado ; luego . La ecuación es valida para todas las formas del M.A.S. El signo (-) significa sentidos opuestos de a y x. Despejando el Período t:

; Por ser la frecuencia el valor inverso del período, resulta:

En un movimiento armónico simple, el período y la frecuencia son independientes de la amplitud.

 
Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple.
Para deducir las fórmulas del movimiento armónico simple, se toma como apoyo el movimiento circular uniforme que origina el M.A.S, sobre uno de los diámetros, teniendo en cuenta que los dos movimientos tienen el mismo período (T) y que la amplitud del M.A.S, es igual al radio del MCU.
Los vectores , , etc del movimiento circular uniforme se descompone en dos componentes perpendiculares; con el objeto de formar triángulos rectángulos, pues para cálculos posteriores, tanto en la semejanza de triángulos como la definición de las funciones trigonométricas facilitan mucho los cálculos. La única condición es que una de las componentes sea paralela a la trayectoria del M.A.S, pues esta componente es el vector correspondiente a dicho movimiento.


 

 
También es importante indicar desde donde se empieza a contar el inicio del movimiento, si desde el centro de la trayectoria o desde uno de los extremos. Si se estudia el M.A.S. contando a partir de un extremo de trayectoria y luego se estudia a partir del centro de la trayectoria encontrarás las fórmulas cambiadas, generalmente donde hay un coseno, encontrarás un seno y viceversa pues hay un desfase de 90º.

Las expresiones que definen el movimiento son: la posición (elongación), la velocidad y la aceleración. La aceleración varía constantemente por el movimiento de vaivén que hace que cambie su sentido constantemente. El módulo de la aceleración depende de la posición a = f( x).

La posición en el M.A.S.
Una partícula P que se mueve en sentido contrario al de las agujas del reloj, con una rapidez lineal constante V sobre el borde de un círculo de centro 0 y de radio R, siendo la velocidad angular de la partícula w constante. Si en un momento to = 0 está en el punto Po, donde el radio vector en dicha posición tiene una abertura ao respecto al diámetro (que coincide con la dirección del eje X), en un momento t diferente de cero estará en el punto P , para dicho momento el ángulo tiene el valor w.t. Se toma en consideración el punto P' , que es la proyección P sobre el diámetro . Conforme P se mueve en torno a la circunferencia, el punto P' se mueve con M.A.S, de acuerdo con lo establecido


 


En función de un sistema de coordenadas con el origen en O y con el eje X a lo largo del diámetro , la coordenada de este punto P' es:
x(t) = R.cos (w.t + ao ); Como R es igual a la amplitud A, ya que es la mayor elongación la anterior ecuación se puede escribir:


 

Se puede hacer una representación gráfica para obtener la posición de la partícula en un tiempo t. Con un ao= 0º.
La elongación es máxima cuando el móvil está en cualquiera de los extremos de la trayectoria y es nula cuando el móvil está en el centro.
Cuando la fase aumenta en 2p desde su valor en el instante t, la partícula tiene de nuevo la misma posición que en el instante t puesto que cos ( 2 + 2p) = cos a. Durante el tiempo en que la fase aumenta en 2p, la partícula realiza un ciclo completo.


La Velocidad en el M.A.S.
Sea , la velocidad de la partícula en el punto p, con MCU. Al descomponer dicha velocidad en sus componentes rectangulares se obtiene y , la primera es la velocidad de P' a lo largo del diámetro ; es decir, es la proyección de la velocidad de P en el diámetro . Por teorema de geometría vemos que el ángulo a formando por y es igual al ángulo formado por y (sus lados son perpendiculares entre sí), luego si fijas la atención en el triángulo formado por , y , por trigonometría se obtiene: V = . Sen a
Se sabe que la velocidad lineal = w.R (R=A), pero la amplitud es igual al radio del círculo y que además a (w.t + ao) permite escribir la ecuación de la siguiente manera: V (t) = - w.A.sen(w.t + ao) la cual da la velocidad en función del tiempo V= f (t), para cualquier M.A.S y nos indica que el valor máximo de la velocidad ocurre cuando (w.t + ao) = 90º y esto sucede cuando la elongación es cero, es decir, cuando pasa por la posición de equilibrio. El signo (-) expresa el sentido del vector .

En efecto, cuando a pertenece al primero o segundo cuadrante, el vector estará dirigido en el sentido negativo del eje X. En cambio, cuando a pertenece al tercero o cuarto cuadrante, el vector estará dirigido en el sentido positivo del eje X.

Dicha ecuación se puede escribir, en función del Período y de la frecuencia, de la manera siguiente:


Se puede hacer una representación gráfica para obtener la velocidad de la partícula en un tiempo t. Con un ao= 0º.

En el centro de la trayectoria ( a= 90º y a = 270º) la velocidad es máxima y en los extremos de la trayectoria ( a = 0º y a = 180º), la velocidad es nula.

La velocidad también se puede expresar en función de la elongación:

La aceleración en el M.A.S.
Para deducir la ecuación de la aceleración a(t) se utiliza la proyección del movimiento circular en el diámetro .

Sea la aceleración centrípeta de la partícula en el punto P con MCU al descomponer dicha aceleración en sus componentes rectangulares se obtiene y , esta última es la aceleración de P' a lo largo del diámetro , o sea, la proyección de la aceleración de P en dicho diámetro. Se observa que el ángulo del vértice 0 es igual al ángulo formado por y por alternos internos entre rectas paralelas permite deducir: a = . cos a



 

 
Como la aceleración centrípeta es = w2.A y
w.t + ao, resulta: a(t) = -w2. A.cos(w.t + ao) ; Pero como la partícula P' está dotada de M.A.S y A.cos(w.t + ao) y representa la elongación x(t) de la partícula P'. a(t) = -w2.x(t).

Se puede hacer una representación gráfica para obtener la aceleración de la partícula en un tiempo t.
Con un ao= 0º. En los extremos de la trayectoria, la aceleración es máxima y en el centro es nula. . El M.A.S es un movimiento rectilíneo acelerado no uniformemente.

Al estudiar el M.A.S se considera que no existe fricción, luego la amplitud del movimiento oscilatorio se mantiene constante; pero en muchos sistemas reales las fuerzas disipativas (Fricción o rozamiento) retardan el movimiento y la amplitud disminuye gradualmente con el tiempo, hasta que el cuerpo llega al reposo. En tales condiciones el movimiento se denomina amortiguado. Así, una cuerda de violín deja de vibrar y un péndulo deja de oscilar.

 
Ejemplo
¿Cuál es la velocidad de un objeto que realiza un movimiento armónico simple de período 0,6 seg cuya amplitud es de módulo 5 cm, al cabo de 0,2 y 0,4 seg?

Solución
La velocidad viene dada por: V (t) = -w. A.sen(w.t + ao)= 0º
La rapidez angular w en función del período es:

El ángulo de fase (En grados)

Para t = 0,2 seg =

Para t= 0,4 seg

=


Sustituyendo en la ecuación de la velocidad V = -w. A.sen(w.t), se tiene:

Para t = 0,2 seg =

Para t= 0,4 seg

=
Para a = w.t = 120º => V = -10,46 rad/seg. 5cm. Sen 120º = - 45,3 cm/seg
Para a = w.t = 240º => V = -10,46 rad/seg. 5cm. Sen 240º = + 45,3 cm/seg
Aplicaciones
 

El movimiento de un Péndulo Simple
Un péndulo simple es un sistema mecánico, constituido por una masa puntual, suspendida de un hilo inextensible y sin peso. Cuando se separa hacia un lado de su posición de equilibrio y se le suelta, el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad. El movimiento es periódico y oscilatorio. Si un pequeño cuerpo de masa m se encuentra sujeto al extremo de un hilo de peso despreciable, cuya longitud es L y que oscila en un plano vertical. Este dispositivo constituye un Péndulo Simple en oscilación, herramienta muy importante en los trabajos realizados por Galileo, Newton y Huygens.
 
 

 

 
Cuando la masa m del péndulo se aleja de la posición de equilibrio 0 y se abandona a si misma, dicha masa oscila alrededor de esta posición de equilibrio con un movimiento periódico y oscilatorio. Si la amplitud del movimiento del péndulo es pequeña, la trayectoria curva BB' descrita por el cuerpo oscilante se puede considerar como un segmento de recta horizontal. En estas condiciones es posible demostrar que la aceleración de la masa es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio y de sentido contrario; es decir para pequeñas amplitudes el péndulo realiza un Movimiento Armónico Simple.
Se puede demostrar que el período de un péndulo simple es:

 

Con g la aceleración de gravedad del lugar. Dicha expresión indica que:

a) Cuanto mayor sea la longitud del péndulo, tanto mayor será su período.
b) Cuanto mayor sea el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar donde oscila el péndulo, menor será su período.
c) El período del péndulo no depende de su masa ni de la amplitud de la oscilación (siempre que sea pequeña).
La frecuencia angular del Péndulo es


Aplicaciones del Péndulo
Mediciones de tiempo.
Debido a la igualdad de duración de todas las oscilaciones, el péndulo es de gran aplicación en la construcción de relojes, que son mecanismos destinados a contar las oscilaciones, de un péndulo, traduciendo después el resultado de ese recuento a segundos, minutos y horas.


Determinación del valor de la aceleración de la gravedad
El valor de g no es constante sino que sufre variaciones, según el lugar de la Tierra que se considere. Uno de los métodos más adecuados para determinar el valor de la aceleración de la gravedad, en determinado lugar, consiste en poner en movimiento un péndulo simple de longitud conocida, determinando con mayor exactitud posible su período de oscilación. En efecto si en la fórmula del período se despeja g:

 

Dichas mediciones son importantes, pues las variaciones en los valores locales de g pueden proporcionar información acerca de la ubicación de petróleo y otros valiosos recursos subterráneos.

De igual manera la longitud de un péndulo simple se puede determinar mediante la siguiente
fórmula:

 
 
Sistema de Masa-Resorte
Uno de los ejemplos más comunes de un cuerpo dotado de M.A.S es el de un cuerpo de masa m unido al extremo de un resorte, que está sujeto a un punto fijo al otro extremo. El resorte está suspendido de un punto fijo S y que al soltarse desde un extremo C (donde estaba comprimido), comienza a oscilar entre los extremos C y B pasando por la posición de equilibrio 0.

Por lo que si se desprecia el roce, la masa suspendida del resorte realizará un movimiento oscilatorio alrededor de la posición de equilibrio 0. La amplitud del movimiento es A.

El período de oscilación del Sistema masa-resorte se calcula por la expresión: ; Donde m es la masa del resorte y k es la constante elástica del resorte.


Salto en Bungee
 		  

a) Cuanto mayor sea la masa del cuerpo tanto mayor será su período de oscilación; es decir, un cuerpo de mayor masa oscila con menos frecuencia (oscila lentamente)

b) Cuanto mayor sea la constante del resorte (resorte más rígido), tanto menor será el período de oscilación, o sea, tanto mayor será la frecuencia con la cual oscila el cuerpo.

c) El período de oscilación es independiente de la amplitud del M.A.S.

 
La frecuencia de oscilación se calcula por la expresión:

Ejemplo
Un automóvil de 1200 Kg de masa se construye con un armazón soportado por cuatro resortes. Cada resorte tiene una constante de fuerza de 20000 New/m. Si dos personas que viajan en el auto tienen una masa combinada de 160 Kg. Encuentre la frecuencia y período de vibración del auto cuando pasa por un bache en el camino.

Solución

Suponga que la masa está distribuida equitativamente, de modo que cada resorte soporta un cuarto de la carga.


 

 
 

Fundación Educativa Héctor A. García