Números
Reales
Los números que se utilizan en el álgebra son los
números reales. Hay un número real en cada punto
de la recta numérica. Los números reales se dividen
en números racionales, números irracionales y numeros
enteros los cuales a su vez se dividen en números negativos,
números positivos y cero (0) .Podemos verlo en esta tabla:
Un número real es racionalsi se puede representar como cociente a/b, donde
a sea un entero y b sea un entero no igual a cero.
Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.
Existen dos maneras:
* decimales terminales
* decimales que se repiten infinitamente
Los números reales que no pueden ser expresados en la forma
a/b, donde a y b son enteros se llaman números
irracionales.
Los números irracionales no tienen decimales terminales
ni decimales que se repiten infinitamente.
Orden
de Operaciones
- Primero resolver todo lo que esté dentro de simbolos
de agrupación.
- Evaluar las expresiones exponenciales.
- Hacer todas las multiplicaciones y divisiones en orden de
izquierda a derecha.
- Hacer todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha.
Ejemplo:
Reglas de los Signos:
- En suma de números con signos iguales, se suman los
números y el resultado lleva el mismo signo. Si los números
tienen signos diferentes, se restan y el resultado lleva el signo
del mayor.
- Ejemplo:
- 5 + 8 = 13
- 5 + -8 = -3
- En resta de signos iguales el resultado lleva el signo del
mayor. Si se restan signos diferentes, se suman los números
y el resultado lleva el signo del mayor.
- Ejemplo:
- 5 - 8 = -3
- 5 - (-8) = 13
- En multiplicación y división de números
con signos iguales el resultado es positivo. Si los números
son signos opuestos, el resultado es negativo.
- Ejemplo:
- 5 x 8 = 40
- 5 x -8 = -40
Recta Numérica
Para construir una recta numérica,
primero se escoge un punto en la recta que será un punto
arbitrario al que le llamaremos cero (0). Este punto es llamado
el origen de la recta numérica. El origen separa la recta
en dos partes, el lado positivo y el lado negativo. A la derecha
del origen está el lado positivo y el negativo está
a la izquierda. En el lado derecho van números enteros
positivos (en orden sucesivo) y en el lado izquierdo se escriben
los números enteros negativos (en orden sucesivo), estos
se marcan en unidades equidistantes.
Es importante recordar que para cualesquiera dos números
reales diferentes a los que llamaremos a y b, siempre
uno es mayor que el otro.
- Si a - b es positivo, entonces a > b.
- Si b - a es positivo, entonces a < b.
Valor Absoluto
La distancia de un número en la recta numérica
desde cero (0) se llama valor absoluto.
Se representa con el simbolo |x|. El valor absoluto de un número
se calcula de la siguiente manera:
- si el número es negativo, lo convertimos a positivo.
- si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplos:
|7| = 7
|-7| = 7
Notación
Exponencial
La notación exponencial
se usa para repetir multiplicaciones de un mismo número.
Es la elevación a la enésima potencia (n) de una
base (X).
Ejemplos:
Expresiones
Algebraicas
Las expresiones algebraicas se clasifican según su
número de términos.
monomio = un solo término.
Por ejemplo:
binomio
= suma o resta de dos monomios.
Por ejemplo:
trinomio = suma o resta de tres
monomios.
Por ejemplo:
polinomio = suma o resta de
cualquier número de monomios.
- Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma
base y los exponentes son enteros positivos diferentes.
- Ejemplo:
- Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes
iguales, el exponente se queda igual.
- Ejemplo:
- En división, si tienen la misma base y los exponentes
son enteros positivos diferentes, se restan los exponentes. Las
variables m y n son enteros positivos , m > n.
- Ejemplo:
- En suma y resta, solo se procede si son términos similares,
en otras palabras lo que difiere es su coeficiente numérico.
Productos
Especiales
Por ejemplo:
Factorización
de Polinomios
Factorizar un polinomio
es el primer método para obtener las raíces o ceros
de la expresión. Para factorizar se comienza con una regla
que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios
de mayor dificultad. Se buscan dos factores o números cuyo
producto sea el último término y a la vez sumados
o restados den como resultado el coeficiente del término
del medio. Esta regla aplica solo a ecuaciones cuadráticas
cuyo coeficiente de la variable elevado al cuadrado es 1. Si el
coeficiente de la variable elevada al cuadrado no fuese 1, la
manera de factorizar sería tanteando hasta poder lograr
la factorización. Muchas veces la factorización
es simplemente reconocer factores comunes.
Se puede utilizar también la inversa de las fórmulas
de productos especiales. O sea, expresamos el polinomio como una
multiplicación o un producto, usando las fórmulas
a la inversa.
Completando el Cuadrado
Completando el cuadrado
es el segundo método para obtener las raíces o ceros
de un polinomio. El proceso es el siguiente:
- Primero mueves el tercer término con signo opuesto
al lado contrario de la igualdad.
- Luego, vas a calcular el término que te permite crear
tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de
la variable que está elevada a la 1, se divide entre dos
y elevarlo al cuadrado.
- Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión.
- Después, la raíz cuadrada del primer término,
el operador (signo) del medio y la raíz cuadrada del último
termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha.
- Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando
que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo.
- Por último despejas por la variable y esas son las
raíces o ceros del polinomio.
Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio 
.
Expresiones
Fraccionales
Una fracción
es una expresión en la forma:
Una expresión fraccional esta simplificada cuando el
numerador y el denominador no tienen factores comunes.
Por ejemplo:
Para multiplicar expresiones fraccionales, se multiplican
los numeradores y se multiplican los denominadores.
Por ejemplo:
Para dividir se multiplica por el reciproco y luego se factoriza
y se simplifica el resultado.
Por ejemplo:
En suma y resta cuando los denominadores son los mismos, se
suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
Por ejemplo:
Exponentes
Enteros
Radicales
Un radical es una expresión
en la forma:
Cada parte de un radical lleva su nombre,
El índice debe ser un entero positivo. Para una raíz
cuadrada, el índice 2 es usualmente omitido.
Propiedades de los Radicales
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Suma
y Resta de Radicales
Cuando tenemos radicales "semejantes", podemos resolver
la suma o la resta usando la propiedad distributiva y agrupando
los términos semejantes. Los radicales
"semejantes" son los que tienen el mismo
radicando.
Ejemplos:
Si los radicales no son semejantes, la suma o la resta solo puede
ser indicada. Se puede agrupar los términos semejantes
del radical.
Ejemplo:
Pronto
