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LA DIVISIÓN

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División por 0, 1, 2 y 3

Dividir es separar un número en varios grupos iguales.
Cuando dividimos 6 por 3 estamos separando 6 en 3 grupos iguales de 2.

Hay dos formas comunes de escribir el signo de la división.
El número 6 dividido 3 se podría escribir como 6/3 o 6 ÷ 3. dicho en palabras (seis entre tres)

Dividir por 0

No se pueden dividir números por 0 porque es imposible hacer 0 grupos de una cantidad.

Dividir por 1

Cualquier número dividido por 1 es igual a ese número. Si divides por 1 tienes un grupo y por lo tanto todo está en ese grupo.

Dividir por 2 y 3

Los datos para las divisiones por dos y tres se encuentran en la siguiente tabla.

DOS
  0 ÷ 2 = 0  2 ÷ 2 = 1  4 ÷ 2 = 2  6 ÷ 2 = 3  8 ÷ 2 = 4
 10 ÷ 2 = 5  12 ÷ 2 = 6  14 ÷ 2 = 7  16 ÷ 2 = 8  18 ÷ 2 = 9
TRES
  0 ÷ 3 = 0  3 ÷ 3 = 1  6 ÷ 3 = 2  9 ÷ 3 = 3  12 ÷ 3 = 4
 15 ÷ 3 = 5  18 ÷ 3 = 6  21 ÷ 3 = 7  24 ÷ 3 = 8  27 ÷ 3 = 9
 
 
Dividir por 4, 5 y 6

Los datos para las divisiones por cuatro, cinco y seis se encuentran en la siguiente tabla.

CUATRO
  0 ÷ 4 = 0  4 ÷ 4 = 1  8 ÷ 4 = 2  12 ÷ 4 = 3  16 ÷ 4 = 4
 20 ÷ 4 = 5  24 ÷ 4 = 6  28 ÷ 4 = 7  32 ÷ 4 = 8  36 ÷ 4 = 9
CINCO
  0 ÷ 5 = 0  5 ÷ 5 = 1  10 ÷ 5 = 2  15 ÷ 5 = 3  20 ÷ 5 = 4
 25 ÷ 5 = 5  30 ÷ 5 = 6  35 ÷ 5 = 7  40 ÷ 5 = 8  45 ÷ 5 = 9
SEIS
  0 ÷ 6 = 0  6 ÷ 6 = 1  12 ÷ 6 = 2  18 ÷ 6 = 3  24 ÷ 6 = 4
 30 ÷ 6 = 5  36 ÷ 6 = 6  42 ÷ 6 = 7  48 ÷ 6 = 8  54 ÷ 6 = 9

 
Dividir por 7, 8 y 9

Los datos para las divisiones por siete, ocho y nueve se encuentran en la siguiente tabla..

SIETE
  0 ÷ 7 = 0  7 ÷ 7 = 1  14 ÷ 7 = 2  21 ÷ 7 = 3  28 ÷ 7 = 4
 35 ÷ 7 = 5  42 ÷ 7 = 6  49 ÷ 7 = 7  56 ÷ 7 = 8  63 ÷ 7 = 9
OCHO
  0 ÷ 8 = 0  8 ÷ 8 = 1  16 ÷ 8 = 2  24 ÷ 8 = 3  32 ÷ 8 = 4
 40 ÷ 8 = 5  48 ÷ 8 = 6  56 ÷ 8 = 7  64 ÷ 8 = 8  72 ÷ 8 = 9
NUEVE
  0 ÷ 9 = 0  9 ÷ 9 = 1  18 ÷ 9 = 2  27 ÷ 9 = 3  36 ÷ 9 = 4
 45 ÷ 9 = 5  54 ÷ 9 = 6  63 ÷ 9 = 7  72 ÷ 9 = 8  81 ÷ 9 = 9

 
Dividir decenas

   ¿Como dividir un número formado por decenas exáctas por otro número?

  • Mover el punto decimal del dividendo un lugar hacia la izquierda.
  • Lleva a cabo la división.
  • Mueve el punto decimal del cociente un lugar hacia la derecha.
División

¿Como dividir un número de dos dígitos por un número de un dígito? (ej. 42 ÷7).

  • Coloca el divisor (7) antes del signo divisor y coloca el dividendo (42) debajo del mismo.
         
    7)42
     
       
     
  • Examina el primer dígito del dividendo (4). Si es más pequeño que 7 no se puede dividir por siete y obtener un número natural.
       6 
    7)42
     
       
     
    Multiplica el 6 por 7 y coloca el resultado (42) debajo del 42 del dividendo.
      6 
    7)42
      42
     
       
    Traza una línea debajo del 42 y réstaselo al 42 (42-42=0). Como el resultado es 0 la división se termina y 6 es la respuesta.
Dividir centenas

Como dividir un número formado por centenas exáctas por otro número.

  • Mueve el punto decimal del dividendo dos lugares hacia la derecha.
  • Lleva a cabo la división.
  • Mueve el punto decimal del cociente dos lugares hacia la derecha.
División

Como dividir un número de tres dígitos por un número de un dígito (e.g. 416 ÷ 7).

  • Coloca el divisor (7) antes del signo divisor y coloca el dividendo (416) debajo del mismo.
         
    7)416
       
  • Examina el primer dígito del dividendo (4). Es más pequeño que 7 tan no pueden ser divididos entre 7 en producir un número entero. Tome luego los primeros dos dígitos del dividendo (41) y encuentre cuántos 7's es contiene. En este caso 41 asideros cinco sietes (5*7=35) pero no seis (6*7=42). Coloque el 5 encima del paréntesis de la división.
        5 
    7)416
       
  • Multiplique el 5 por 7 y coloque el resultado (35) debajo del 41 del dividendo.
        5 
    7)416
      35
       
  • Escriba un línea bajo el 35 y lo resta de 41 (41-35=6). Baje el 6 del 416 y lo coloca a la derecha del otro 6.
       5 
    7)416
      35
       66
       
  • Divida 66 por 7 y coloque esa respuesta encima del paréntesis de la división a la derecha del cinco.
       59
    7)416
      35
       66
       
  • Multiplique el 9 del cociente por el divisor (7) en obtener 63 y colocar esto debajo del 66. Reste 63 de 66 en dar una respuesta de 3. El número 3 son llamados el resto e indican eso había tres izquierdo sobre.
       59 R 3
    7)416
      35
       66
       63
        3
       
División

Cómo dividir un número de tres dígitos por un número de un dígito (e.g 413 ÷ 7).

  • Coloca el divisor delante del signo divisor y coloca el dividendo (413) debajo del mismo.
         
    7)413
       
  • Examina el primer dígito del dividendo (4). Es menor que 7 entonces no se puede dividir por 7 y obtener un número entero. Luego toma los primeros dos dígitos del dividendo (41) y determina cuantos sietes contiene. En este caso 41 contiene cinco sietes (5 X 7= 35) pero no seis (6 X 7= 42).
       5 
    7)413
       
  • Multiplica el 5 por el 7 y coloca el resultado (35) debajo del 41 del dividendo.
       5 
    7)413
      35
       
  • Traza una línea debajo del 35 y réstalo del 41 (41-35=6). Baja el 3 del 413 y colócalo a la derecha del 6.
       5 
    7)413
      35
       63
       
  • Divide 63 por 7 y coloca la respuesta sobre el signo divisor a la derecha del cinco.
       59
    7)413
      35
       63
     
       
  • Multiplica el 9 del cociente por el divisor (7) para obtener 63 y colócalo debajo del 63 debajo del dividendo. Resta 63 del 63 y obtiene un resultado de 0. Esto indica que no queda nada y que el siete se puede dividir exactamente por 413 para producir un cociente de 59.
       59
    7)413
      35
       63
       63
        0
       

Un niño notable

La división: una operación para repartír

Carlos Federico Gauss fue un matemático alemán al que se le llamó "el príncipe de los matemáticos".

Carlos Federico Gauss Un día, cuando tenía 10 años, su profesor le dio un ejercicio en clases para tener ocupado a sus alumnos durante largo tiempo: calcular la suma de la serie de los números naturales del 1 al 100.

Gauss terminó su trabajo a los pocos minutos. El profesor no se podía convencer.

¿Qué había hecho este pequeño genio?

Muy simple: sumó los números extremos de la serie. Así:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101...

Y el resultado era siempre 101.

Si el resultado se repetía 50 veces pensó: la suma corresponde a 101 x 50. Y eso da un total de 5,050

El profesor quedó maravillado con su precoz alumno.

Muestras

 
Divide
1:
      
9 )216
    
     
     
      
      
      
 
2:
      
9 )342
    
     
     
      
      
      
 
3:
      
6 )102
    
     
     
      
      
      
 
4:
      
9 )261
    
     
     
      
      
      
 
5:
     
2 )44
    
     
     
     
 
6:
     
2 )52
    
     
     
     
 
7:
      
8 )360
    
     
     
      
      
8:
      
6 )162
    
     
     
      
       

 

Resultados

1:
   024
9 )216
   0
   21
   18
    36
    36
     0
 
2:
   038
9 )342
   0
   34
   27
    72
    72
     0
 
3:
   017
6 )102
   0
   10
    6
    42
    42
     0
 
4:
   029
9 )261
   0
   26
   18
    81
    81
     0
 
5:
   22
2 )44
   4
   04
    4
    0
 
6:
   26
2 )52
   4
   12
   12
    0
 
7:
   045
8 )360
   0
   36
   32
    40
    40
     0
 
8:
   027
6 )162
   0
   16
   12
    42
    42
     0
División Larga

Veamos cómo se hace:

425 ÷ 25

Usaremos la división, la multiplicación y la resta así que quizás quieras repasarlas.

Primero tenemos que hacer dos definiciones.

  • El número al que vamos a dividir se llama dividendo (el 425 de arriba)
  • El número que divide al otro se llama divisor (el 25 de arriba)
4 ÷ 25 = 0 resto 4 La primera cifra del dividendo se divide por el divisor.
  El número entero que resulta se pone debajo del divisor. El resto de esa división se ignora.
25 × 0 = 0 La respuesta de la primera operación se multiplica por el divisor. El resultado se pone debajo del número que se dividió.
4 – 0 = 4 Ahora restamos el número de abajo del de arriba.
  Bajamos la siguiente cifra del dividendo.
42 ÷ 25 = 1 resto 17 Dividimos este número por el divisor.
  El número entero que resulta se pone debajo del divisor. El resto de esa división se ignora.
25 × 1 = 25 La respuesta de la operación anterior se multiplica por el divisor. El resultado se pone debajo del último número que se dividió.
42 – 25 = 17 Ahora restamos el número de abajo del de arriba.
  Bajamos la siguiente cifra del dividendo.
175 ÷ 25 = 7 resto 0 Dividimos este número por el divisor.
  El número entero que resulta se pone debajo del divisor. El resto de esa división se ignora.
25 × 7 = 175 La respuesta de la operación anterior se multiplica por el divisor. El resultado se pone debajo del último número que se dividió.
175 – 175 = 0 Ahora restamos el número de abajo del de arriba.
    No quedan más cifras que bajar. La respuesta es 17

 
Los secretos de la división

La división tiene como elementos:

dividendo : divisor = cuociente

Cuando el divisor no cabe exactamente en el dividendo, queda un resto o residuo debajo de él.

Dos casos

En la división de decimales podemos encontrar dos casos:

  • Que dividendo y divisor sean enteros y en el cuociente obtengamos decimales.
  • Que dividendo o divisor sea decimal, o ambos cumplan esa condición.

Analizaremos ambos.

Dividendo y divisor enteros, con cuociente decimal

Encontraremos este caso en divisiones inexactas de enteros, en las que para obtener un cuociente más específico, es necesario seguir dividiendo.

Por ejemplo:

Es división inexacta; quedó de residuo el 3.

 

¿Cómo seguir dividiendo si no hay más cifras en el divisor?

Si las hay. Recuerda que los enteros son decimales periódicos, de la siguiente forma:

 
 
 

 

 

 
 Para continuar dividiendo, bajamos el primer 0 decimal al lado del 3, colocamos la coma en el cuociente y seguimos dividiendo. Así:

 

 En este ejemplo tuvimos que sacar dos cifras decimales y logramos un decimal exacto. Es más específico el cuociente 8,75 que 8.

Cuando llegamos a los milésimos y todavía no tenemos un decimal exacto, por acuerdo, no continuamos la división. Si quieres obtener un resultado con más cifras decimales, aprovecha de usar la calculadora.

 Algunas veces se nos presenta un dividendo menor al divisor. Entonces, inmediatamente colocamos 0 en el cuociente, la coma y escribimos la parte decimal del dividendo para continuar.

 

Veamos qué sucede con :

Cuando hayas aprendido la forma de solución, no será necesario escribir la parte decimal con ceros; lo harás mentalmente.

Sin calculadora

Tú ya sabes que la división es la operación inversa de la multiplicación. Entonces, recurriremos a ella para comprobar resultados.

Sólo debes multiplicar el cuociente por el divisor, luego le adicionas el residuo -si hay- y la suma deberá coincidir con el dividendo.

Revisemos el ejemplo anterior de 38 : 17. Su cuociente era 2,235 y el residuo, 5.

Entonces, multiplicamos:

¡Bien!

 

 

Fundación Educativa Héctor A. García