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Son ideas de cantidad que están en nuestra mente:
dos amigos, veinte compañeros, tres hermanos... La forma en que
representamos o escribimos esa idea recibe el nombre de
numeral.
Nuestros numerales actuales son de origen indoarábigo. Es decir,
el hombre combinó ambos sistemas de contar -los de indios y
árabes- y esto se extendió por todo el mundo, hasta tener la
forma de hoy.
El sistema numérico que nosotros utilizamos,
recibe el nombre de decimal.
Se denomina así porque a partir de sólo 10 cifras se puede formar
cualquier numeral. Esas cifras se conocen como el
conjunto de los dígitos,
relacionando su nombre con los dedos de nuestras manos. Los dígitos son:
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Tomaremos como ejemplo los dígitos 1, 2 y 3.
Con ellos se pueden formar varios numerales: 123, 132, 213, 231, 312 y
321.
Te habrás podido dar cuenta que utilizamos los mismos dígitos, pero los
numerales obtenidos son distintos.
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Columna y valor de posición
¿Cuál es la razón de que, combinando los números, los numerales
obtenidos sean distintos?
Lo que sucede es que cada dígito tiene su
valor de acuerdo al
lugar que ocupa en el numeral. Desde la última cifra contamos las
columnas de posición
de las unidades (U.),
las decenas (D.) y las centenas (C.).
El valor de las decenas es 10 veces su cifra y el de las centenas, es
100 veces el dígito.
Unidades (U.) 1
Decenas (D.) 10
Centenas (C.) 100
Coloquemos uno de nuestros numerales en las columnas de posición.
Observemos el numeral 321, que queda ubicado así:
321
En este caso, el dígito
1 está en el valor de
la unidad, es decir, vale 1; el 2
ocupa el lugar de las decenas, por lo tanto, vale
20; y el 3
corresponde a las centenas, o sea, su valor es de
300.
Entonces, 321 según las columnas de posición, es
igual a: 3 C.
+ 2 D. +
1 U.
y de acuerdo al valor de sus cifras es:
300 +
20 +
1
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Para leer y escribir numerales
Los valores de posición nos ayudan a leer y escribir numerales.
Volvamos al 321:
321 se lee
trescientos veintiuno.
¿Sabías que para leer o escribir numerales más
grandes basta con saber hacerlo hasta las centenas? Sí, porque
las cifras van separadas -cada tres- por un punto.
Analicemos este caso
426,197
Antes del punto dice cuatrocientos veintiséis; después de la coma,
ciento noventa y siete. Leyendo todo junto tenemos: cuatrocientos
veintiséis mil ciento noventa y siete.
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Conociendo la familia Miles
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El ejemplo anterior nos sirve para conocer
nuevas columnas y valores de posición que ubicamos desde la derecha:
Unidad de Mil (U.M.),
Decena de Mil (D.M.)
y Centena de Mil (D.M.)
426.197 = 4 C.M. + 2 D.M. + 6 U.M. + 1 C. + 2 D. + 7 U., en columnas
de posición.
426.197 = 400.000 + 20.000 + 6.000 + 100 + 90 + 7, en valores de
posición. |
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Numerales y sus secretos
Otra particularidad de nuestro sistema numérico es que en él podemos
decir si un numeral es mayor o menor que otro, o sea, se pueden
comparar. |
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¿Cuándo es menor? Cuando está ubicado a la
izquierda de otro en la recta numérica, es decir,
más cerca del 0. El símbolo que nos indica
menor que es:
<
¿Cuándo es mayor? Si está ubicado a la derecha
de otro en la recta numérica, es decir, está
más lejos del 0.
El símbolo matemático para indicar mayor que es:
>
Por ejemplo:
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328 |
< |
856 |
y |
856 |
> |
328 |
| Menor que |
Mayor que |
Las columnas de posición también sirven para comparar numerales. Así:
Es mayor el número que tiene más columnas de posición:
|
324.409 |
> |
32.449 |
> |
409 |
| 6 columnas |
5 columnas |
3 columnas |
Si los numerales tienen la misma cantidad de columnas, es necesario
revisar los dígitos que las forman desde la que tiene mayor valor,
es decir, la que está más a la izquierda. Es mayor el numeral que
tiene el dígito de más valor en esa columna. Si tienen el mismo
dígito, se compara con la columna que sigue. Analicemos:
|
42.726
|
>
|
27.426
|
>
|
23.426
|
>
|
17.332
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Antecesor y sucesor |
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Nuestro
sistema numérico forma dos conjuntos de números: los
naturales,
que se utilizan para contar y empiezan en el 1; y los
cardinales,
que sirven para determinar el número de elementos de un conjunto
y empiezan en el 0, porque hay conjuntos vacíos.
Ambos conjuntos numéricos son ordenados, porque hay un
antecesor
y un
sucesor
de cada numeral. En antecesor se obtiene restándole 1 unidad a
un número dado y el sucesor, sumándole 1 unidad a un número
dado.
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Cardinales
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
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Naturales
{1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
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Son sucesiones de números que van avanzando o retrocediendo, en la
recta numérica, la misma cantidad de espacios. Así, hay secuencias
de 1 en 1; de 6 en 6, de 100 en 100, etcétera.
Observa:
30.402
- 30.502
- 30.602
- 30.702
- ...
En esta secuencia cambia la Centena, 1 cada vez; entonces va
avanzando de 100 en 100.
-
Equivalencia entre columnas de posición
Hay una tabla que nos ayudará a hacerlo. Junto con ella,
aprovechemos y utilicemos nuestro dinero, que se relaciona con el
valor de cada columna:
| Las
monedas de .1¢ son Unidades
U |
Las de .10¢
son Decenas D |
Los billetes de $100
son Centenas C |
Los billetes de
$1000 serian Unidades de Mil
M |
Los billetes de
$10,000 serian Decenas de Mil.
D.M. |
Veamos un ejemplo:
¿Cuántos billetes de $100 se necesitan para formar $50,000? $50,000
son 5 billetes de $10,000, es decir, 5 D.M., y cada billete de $100
es 1 C.
En la tabla quedaría: |
El mundo de los dígitos
Cuando el hombre logró organizar un sistema de signos para contar, nació
lo que llamamos numerales.
La primera manifestación de símbolos numéricos
aparece alrededor de 2.000 años a.C. con los sumerios, en Asia Menor.
Sus conquistadores, los babilonios, continuaron con la misma utilización.
Toda civilización que alcanzó altos niveles de desarrollo, tuvo su
propio sistema de numeración.
Para que los signos formen un sistema numérico, deben cumplir con
algunos requisitos importantes, como son la posición, el valor y el
orden.
Los números romanos
El sistema numérico romano ha perdurado hasta hoy, utilizándose para
identificar siglos, indicar orden, en números de relojes y otras
aplicaciones. El sistema de numeración romano se basa en siete símbolos
y funciona con las siguientes reglas:
-
De repetición: se
pueden repetir hasta tres veces los símbolos I, X, C, M y sus
valores se suman. No se repiten ni anteponen los símbolos: V, L y D.
-
De adición: un
símbolo menor a la derecha de otro mayor, suma su valor a éste.
-
De sustracción: un
símbolo menor a la izquierda de otro mayor, resta su valor a éste.
Hay que recordar que:
-
I
va sólo a la izquierda de
V
ó
X,
-
X va sólo a
la izquierda de L
ó C y
-
C va sólo a
la izquierda de D
ó M.
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·
De multiplicación:
una línea horizontal sobre un número, significa que ese número se
multiplica por 1.000.
Los siete símbolos en que se basa la numeración romana
¿Cómo eran los números
egipcios?
El conocimiento de
los métodos de cálculo de los egipcios y su aplicación en distintos
problemas proviene de las inscripciones talladas en piedras, de los
calendarios y sobre todo de algunos papiros. Entre los más antiguos cabe
destacar, especialmente dos: el papiro Golenischevse que se conserva en
Moscú y el papiro Rhind o de Ahmes que se halla en el British Museum.
Los estudios
matemáticos en el Antiguo Egipto tuvieron un origen práctico. Alcanzaron
un gran nivel en las manipulaciones aritméticas pero sus métodos eran
toscos y sin grandes generalizaciones. Casi no hay simbolismo y los
egipcios eran poco dados a investigaciones abstractas. Trabajaron sobre
todo en geometría y aritmética.
Desde el tercer
milenio A.C. los egipcios crearon un sistema de numeración decimal, es
decir contaban de 10 en 10, no tenían símbolo para el cero y utilizaban
los geroglíficos (ver glosario) de la figura para representar los
distintos ordenes de unidades.
El procedimiento era
de tipo aditivo, es decir, las cifras eran repetidas. Así, por ejemplo,
si el uno se escribía como una línea vertical, el cuatro era
representado como cuatro líneas verticales. Un signo no se repetía más
de nueve veces seguidas, ya que a la décima vez se utilizaba el número
siguiente.
Se usaban tantos de
cada uno cómo fuera necesario y se podian escribir indistintamente de
izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la
orientación de las figuras según el caso.
Como no importaba el
orden, se escribían a veces según criterios estéticos y solían ir
acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales,
prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban.
Pero en un principio
los egipcios escribían los nueve primeros números colocando símbolos de
la unidad, uno a continuación de otro; más tarde utilizaron la
representación por desdoblamiento mientras los arameos de Egipto usaban
un principio ternario (ver tabla).
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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Estos signos fueron
utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su
uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario
fue sustituido por la escritura hierática y demótica (ver glosario),
formas más simples que permitian mayor rapidez y comodidad a los
escribas.
En estos sistemas de
escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se
introdujeron símbolos particulares para 20, 30...90...200, 300...900,
2000, 3000... con lo que disminuye el número de signos necesarios para
escribir una cifra.
Estos jeroglificos
numéricos estaban reservados a las inscripciones sobre monumentos de
piedra. Los escribas para realizar los documentos de tipo
administrativo, astronómico, etc., fueron simplificando el trazo hasta
obtener los llamados signos hieráticos. Por ejemplo el 20 en notación
jeroglífica se escribía  ,
mientras en hierática se denotaba mediante  .
El escriba o
calculador egipcio realizaba operaciones aritméticas elementales, con
números enteros y el uso casi exclusivo de fracciones unitarias. El
papiro de Rhind contiene al principio una tabla en la que se expresan
las fracciones de numerador 2 y de denominador impar entre 5 y 101, como
suma de fracciones unitarias; con ellas efectuaban las cuatro
operaciones aritméticas con fracciones.
La naturaleza de los
números irracionales no llegó a reconocerse en la aritmética egipcia.
Las raíces cuadradas sencillas que aparecían en los problemas se
expresaban mediante números enteros y fracciones.
Contando hasta hoy...
Gracias a los árabes que se dedicaron al comercio
de productos de la India, fue posible la fusión del sistema numérico
árabe con el hindú. Pronto, esta combinación se utilizaría en toda
Europa, dando origen a nuestro actual sistema numérico. Por eso decimos
que su origen es indo-arábigo.
En nuestros días hay otro sistema numérico muy
utilizado, el binario,
que tiene como base los dígitos 0 y 1; con este sistema funcionan los
computadores. Cada caracter del teclado de un computador es una serie
irrepetible de ceros y unos. Los ceros indican a la unidad de control
que no pasa electricidad; y los unos, que sí hay impulsos eléctricos.
Nuestro sistema numérico
U
D
C
U.M
D.M
C.M
U.Mi
D.Mi
C.Mi |
=
=
=
=
=
=
=
=
= |
Unidades
Decenas
Centenas
Unidades de mil
Decenas de mil
Centenas de mil
Unidades de millón
Decenas de millón
Centenas de millón |
El sistema numérico que usamos actualmente es
decimal, porque se basa en diez cifras
llamadas dígitos, por su relación con el número de dedos de las
manos.
Los dígitos
son: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Con estos diez símbolos podemos formar cualquier numeral de nuestro
sistema.
En un numeral,
cada dígito tiene una posición y de acuerdo a ella es su valor.
Las columnas de posición son infinitas, porque
nuestro sistema ¡es infinito!
¡No existe el número mayor de todos!
Las columnas más utilizadas están identificadas en esta tabla de
columnas de posición.
El valor de posición de un dígito se obtiene multiplicándolo por una
potencia de 10 (10 - 100 - 1.000).
Te contaremos un secreto para saber por cuál de ellas se multiplica el
dígito dado: cuenta las cifras que están a la derecha del dígito
seleccionado y, de acuerdo a ellas, son los ceros que le colocas al 1
para completar la potencia de 10. Si para el número 5.320 quieres saber
el valor del 3, vemos que hay 2 cifras a la derecha de él; por lo tanto,
su valor es 3 por 100 y eso es 300.
En tanto que el valor del 5 es 5 por 1.000, ya que tiene 3 cifras hacia
la derecha; entonces, su valor es 5.000.
Y, ¡atención! Si lees el número lentamente, obtendrás el valor de cada
dígito sin hacer ninguna operación.
Si te fijas bien, para leer numerales vamos
separando cada tres
cifras con un punto que diferencia los millones, los miles y las
unidades.
Veamos un ejemplo:
25.216.054
Aquí leemos veinticinco millones doscientos dieciséis mil cincuenta y
cuatro
Relación de orden
Cuando hablamos de mayor y menor, nos referimos a
la característica de orden entre numerales. Observemos que, en nuestro
sistema, cada número tiene otro que le sigue y que se forma de sumarle 1
a él mismo. A este número así formado lo llamamos
sucesor. Por ejemplo,
para el número 97, su sucesor es
97 + 1 = 98.
¿Te das cuenta de por qué nuestro sistema es infinito?
¡Todo número tiene un sucesor y sólo uno!
También decimos que cada número tiene
antecesor, que se obtiene restando 1 del
número dado; entonces, para el número 54, su antecesor es 54 - 1 y esto
es 53.
Hay un número natural que no tiene antecesor: es
el 1; y en los cardinales,
el 0.
Hay dos conjuntos numéricos que debemos reconocer:
Conjunto de los nímeros naturales. Empieza en el 1.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
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Conjunto de los números cardinales y empiezan con el 0.
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
Los puntos (...) significan "y así sucesivamente"
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Conocer las propiedades numéricas
En los seres humanos existen relaciones entre dos personas: Padre-hijo,
polola-pololo, hermano-hermana, amiga-amigo, etcétera; las propiedades
de los números se determinaron al establecer relaciones entre dos de
ellos. Tú ya conoces algunas relaciones como las de: mayor que (>),
menor que (< ), mayor o igual que y menor o igual que. También
identificas la relación de equivalencia igual que (=).
Ahora te invitamos a conocer otras relaciones.
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