|
|
Á
L G E B R A
Para poder
tomar los exámenes
de este tema
debes estar
registrado, si
no lo estás,
[Registrate
aquí]
Entrar a exámenes
de:
Contenido Revisado 
|
|
SOLUCIONES
1. LA VIDA DE DIOFANTO. Al resolver
la ecuación y hallar el valor de la incógnita, 84, conocemos los
siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los 21 años, fue
padre a los 38 años, perdió a su hijo a los 80 años y murió a los 84.
2. EL CABALLO Y EL MULO. Sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas: x=5, y=7. El caballo llevaba 5 sacos
y el mulo 7 sacos.
3. LOS CUATRO HERMANOS. Sistema de
cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: x=8, y=12, z=5, t=20.
4. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. mcm
(2,3,4,5,6,7,8,9,10) + 1 = 2.521.
5. COMERCIANTES DE VINOS. x=Precio de
cada barril. y=Impuesto aduanero.
x = Precio de cada barril. y = Impuesto aduanero que
representa un procentaje.
5x + 40 = 64xy
2x ‑ 40 = 20xy
Resolviendo el sistema: x = 120.
dólares. y = 1/12.
Es decir que el impuesto es el 8,33 porciento del valor total.
Con estos valores podemos decir que:
El primer comerciante pagó un impuesto de 64*120*(1/12) = 640,
que equivale a 5 barriles más 40 dólares.
El segundo comerciante pagó un impuesto de 20*120*(1/12) = 200,
que equivale a 2 barriles menos 40 dólares.
6. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. Sea x el
número de huevos y P y P' los precios inicial y resultante tras la
rotura.
Px=60 P=60/x
P'(x-2)=60 P'=60/(x-2)
Pero P'=P+12/12
60/(x-2) = 60/x + 1 = (60+x)/x 60x=60x-120+x2-2x
x2-2x-120=0 x=12.
7. LOS DIEZ ANIMALES. Primero damos
cinco galletas a cada uno de los diez animales; ahora quedan seis
galletas. Bien, los gatos ya han recibido su parte. Por tanto, las seis
galletas restantes son para los perros, y puesto que cada perro ha de
recibir una galleta más, debe haber seis perros y cuatro gatos. (6 x 6 +
5 x 4 = 36 +20 = 56).
8. LOROS Y PERIQUITOS. Puesto que un
loro vale lo que dos periquitos, cinco loros valen lo que diez
periquitos. Por tanto, cinco loros más tres periquitos valen lo que
trece periquitos. Por otro lado, tres loros, más cinco periquitos valen
lo que once periquitos. Así que la diferencia entre comprar cinco loros
y tres periquitos o comprar tres loros y cinco periquitos es igual que
la diferencia entre comprar trece periquitos y comprar once periquitos,
que es dos periquitos. Sabemos que la diferencia es de 20 dólares. Así
que dos periquitos valen 20 dólares, lo que significa que un periquito
vale 10 dólares y un loro 20 dólares. (5 loros + 3 periquitos = 130
dólares; 3 loros + 5 periquitos = 110 dólares).
9. CARROS Y MOTORAS. Si todos los
vehículos hubieran sido MOTORAS, el número total de ruedas sería 80, es
decir, 20 menos que en realidad. La sustitución de una moto por un coche
hace que el número total de ruedas aumente en dos, es decir, la
diferencia disminuye en dos. Es evidente que hay que hacer 10
sustituciones de este tipo para que la diferencia se reduzca a cero. Por
lo tanto se repararon 10 CARROS y 30 MOTORAS. 10.4+30.2=40+60=100.
10. MONDANDO PAPAS. En los 25
minutos de más, la segunda persona mondó 2.25 = 50 PAPAS. Restando
estas 50 PAPAS de las 400, hallamos que, trabajando el mismo tiempo
las dos mondaron 350 PAPAS. Como cada minuto ambas mondan en común
2+3=5 PAPAS, dividiendo 350 entre 5, hallamos que cada una trabajó 70
minutos. Este es el tiempo real que trabajó la primera persona; la
segunda trabajó 70+25=95 minutos. 3.70+2.95=400.
11. EL PRECIO DE LOS LIMONES.
Llamemos "x" al precio de un limón expresado en duros.
36 limones cuestan 36.x duros.
Por 16 duros dan 16/x limones.
36.x = 16/x, 36.x² = 16, x² = 16/36, x = 2/3 duros.
Luego, 12 limones valen 8 duros.
12. LA MÁQUINA DE FLIPPER. La
diferencia 471.300 - 392.750 = 78.550 son los puntos que cada amigo
tiene que hacer de más por faltar uno de los amigos. 392.750/78.550 = 5
veces los puntos en cuestión. Luego los amigos eran inicialmente eran 6.
Para conseguir partida necesitan 392.750 por 6 = 471.300 por 5 =
2.356.500 puntos.
13. TINTEROS Y CUADERNOS. Dos
tinteros cuestan 70-46=24 ptas. Luego un tintero cuesta 12 ptas. Antonio
pagó 60 ptas. por los tinteros, luego 70-60=10 ptas. por los cuatro
cuadernos, o sea que un cuaderno cuesta 10/4=2.50 ptas.
14. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Como 4
manzanas y 6 melocotones se equilibran con 10 melocotones, entonces una
manzana pesa lo mismo que un melocotón. Por tanto una pera se equilibra
con 7 melocotones.
15. VENTA DE HUEVOS. Después de que
la segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que quedaban más
medio huevo, a la campesina sólo le quedó un huevo. Es decir, un huevo y
medio constituyen la segunda mitad de lo que le quedó después de la
primera venta. Está claro que el resto completo eran tres huevos.
Añadiendo 1/2 huevo, obtenemos la mitad de los que tenía la campesina al
principio. Así, pues, el número de huevos que trajo al mercado era siete.
16. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. 36.
17. LAS TIERRAS DEL GRANJERO.
Reducimos todo a sesentavos, 1/3 +1/4 +1/5 = 20/60 +15/60 + 12/60 =
47/60. Esto deja 13/60 para el cultivo de maíz. Por consiguiente, 13/60
de la tierra es 26, y como 13 es la mitad de 26, 60 debe ser la mitad
del número total de Ha. Así que la tierra tiene 120 Ha.
Prueba: un tercio de 120 es 40, que es para el trigo;
un cuarto de 120 es 30, que es para los guisantes; y un quinto de 120 es
24, que es para las judías. 40+30+24=94, y quedan 26 hectáreas para el
maíz.
18. PASTELES PARA LOS INVITADOS.
Había 10 invitados preferidos. 10·4 + 20·3 = 40 + 60 = 100.
19. LOS PASTELES. Ana tiene que darle
a Carlos 2 pasteles. En total había 12 pasteles. Al principio Ana tenía
9 y Carlos 3.
20. MÁS PASTELES. Ana 24, Carlos 8 y
Diego 4.
21. VENGA PASTELES. Había 32 pasteles.
Carlos comió 10 y Diego 14.
22. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS.
Sabemos que 1G = 3P.
7G + 4P = 21P + 4P = 25P
4G + 7P = 12P + 7P = 16P
25P - 19P = 6P = 12 ptas. 1P = 2 ptas. 1G = 6 ptas.
23. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. Como
63,63636363...=700/11, el 700/11 % de los que quedan tiene carnet de
conducir. Si N es el número de los que quedan, tienen carnet de conducir
700/11 1/100 N = 7N/11. Por tanto N debe ser múltiplo de 11. Igualmente
como, 92,2297297...=6.825/74 entonces: 6.825/74 1/100 N = 273 N/296 no
llevan gafas. Por tanto N también debe ser múltiplo de 296. Así N es
múltiplo de 296 11=3.256. Pero en el regimiento sólo había 4.000
soldados, por lo que N=3.256 soldados. Por lo tanto, se han licenciado
4.000-3.256=744.
24. ENCUESTA SOBRE EL VINO.
25. LA REVENTA. El porcentaje sobre
el recargo que se gana Manuel es del 50%.
26. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%.
Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas., el proceso es:
100 ptas - encarece 10% - 110 ptas. - abarata 10% - 99.
Luego es más barata después de abaratarla.
En general: x - encarece 10% - 110x/100 ptas. - abarata 10%
- 99x/100.
Siempre es más barata después de abaratarla.
27. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%.
Si se utiliza un artículo que valga 100 ptas., el proceso es:
100 ptas - abarata 10% - 90 ptas. - encarece 10% - 99.
Luego es más barata después de encarecerla.
En general: x - abarata 10% - 90x/100 ptas. - encarece 10% -
99x/100.
Siempre es más barata después de encarecerla.
28. GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS
CUADROS. El tratante no calculó bien: No se quedó igual que estaba;
perdió 20 dólares ese día. Veamos por qué:
Consideremos primero el cuadro que vendió con un beneficio
del 10%. Por el cuadro le dieron 990 dólares; ¿cuánto pagó por él? El
beneficio no es el 10% de 990, sino el 10% de lo que pagó. De modo que
990 dólares es el 110% de lo que pagó. Esto significa que pagó 900
dólares, hizo el 10% de 900 dólares, que es 90 dólares, y recibió 990
dólares. Por consiguiente sacó 90 dólares con el primer cuadro.
Consideremos ahora el segundo cuadro: Perdió el 10% de lo que pagó por
él, de modo que lo, vendió por el 90% de lo que pagó. Por tanto pagó
1100 dólares, y el 10% de 1100 es 110, así que lo vendió por 1100 menos
110, que es 990 dólares.
Por consiguiente perdió 110 dólares con el segundo cuadro, y
ganó sólo 90 con el primero. Su pérdida neta fue de 20 dólares.
29. HÁMSTERS Y PERIQUITOS. Se
compraron inicialmente tantos hámsters como periquitos. Sea x dicho
número. Llamaremos y al número de hámsters que quedan entre los
animalitos aún no vendidos. El número de periquitos será entonces 7-y.
El número de hámsters vendidos a 200 pesetas cada uno, tras aumentar en
un 10% el precio de compra, es igual a x-y, y el número de periquitos
vendidos (a 110 pesetas cada uno) es evidentemente x-7+y. El costo de
compra de los hámsters es por tanto 200x pesetas, y el de los periquitos,
100x pesetas, lo que hace un total de 300x pesetas. Los hámsters
vendidos han reportado 220(x-y) pesetas y los periquitos 110(x-7+y)
pesetas, lo que hace un total de 330x - 110y - 770 pesetas. Se nos dice
que estos dos totales son iguales, así que los igualamos y simplificamos,
tras de lo cual se obtiene la siguiente ecuación diofántica con dos
incógnitas enteras: 3x = 11y + 77. Como x e y han de ser enteros
positivos, y además y no puede ser mayor que 7, es cosa sencilla tantear
con los ocho valores posibles (incluido el 0) de y a fin de determinar
las soluciones enteras de x. Solamente hay dos: 5 y 2. Ambas podrían ser
soluciones del problema si olvidamos el hecho de que los periquitos se
compraron por pares. Este dato permite desechar la solución y=2, que da
para x el valor impar de 33. Por lo tanto concluimos que y es 5. Podemos
ahora dar la solución completa. El pajarero compró 44 hámsters y 22
parejas de periquitos, pagando en total 13.200 pesetas por todos ellos.
Vendió 39 hámsters y 21 parejas de periquitos, recaudando un total de
13.200 pesetas. Le quedaron 5 hámsters cuyo valor al venderlos será de
1.100 pesetas, y una pareja de periquitos, por los que recibirá 220, lo
que le da un beneficio de 1.320 pesetas, que es la solución del problema.
30. PASTELES SOBRE LA MESA. 30
pasteles. Diego encontró 2 = 1+1. Carlos encontró 6 = (2+1)2. Blas
encontró 14 = (6+1)2. Ana encontró 30 = (14+1)2.
31. PASTELES COMO PAGO. El máximo es
3x26=78. Ganó sólo 62. Por holgazanear perdió 16. Cada día que
holgazanea pierde 4 (3 que no recibe y 1 que da), luego 16/4=4.
Holgazaneó 4 días y trabajó 22 días.
32. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. El
95% del número de aprobados ha de ser un número natural (no existen, en
vivo, fracciones de personas).
En este caso, el procedimiento más fácil para hallar la
cantidad correspondiente al 95% es buscar un número, entre 1 y 36, cuyo
5% (100-95) sea un número natural. Si el 5% es una cantidad exacta,
también lo será el 95%.
Un número cuyo 5% sea un número natural ha de ser 20 o
múltiplo de 20. En este caso, solo es posible el 20. Número total de
aprobados: 20. Número de aprobados de Salamanca capital (el 95%): 19.
33. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. La
cantidad de espárragos del manojo es aproximadamente proporcional a la
superficie del círculo formado por el bramante.
Cuando se dobla la longitud del bramante se dobla el radio
del círculo, y la superficie de ese círculo está multiplicada por 4 (S=
R²).
De suerte que los nuevos manojos contienen cuatro veces más
espárragos y su precio debería ser 80 x 4 = 320 ptas.
34. MIDIENDO UN CABLE. 59 metros.
35. VESTIDOS A GOGÓ. 6.
36. LOS DOS BEBEDORES. Se puede
considerar a los personajes como desagües de un barril, con velocidad
uniforme de salida cada uno. Sean x las horas que tarda el inglés en
beber todo el barril, e las horas que tarda el alemán.
Los dos juntos en dos horas habrán bebido 2 (1/x + 1/y)
parte del barríl
En 2 horas y 48 minutos el alemán bebe: (2+4/5) 1/y
En 4 horas y 40 minutos el inglés bebe: (4+2/3) 1/y
2 (1/x + 1/y) + (2+4/5) 1/y = 1
2 (1/x + 1/y) + (4+2/3) 1/x = 1
Sistema que se resuelve fácilmente tomando como incógnitas
1/x=x' y 1/y=y', de donde x=10, y=6.
Es decir, el alemán se bebería el barril en 6 horas y el
inglés en 10 horas.
37. JUEGO EN FAMILIA. Supongamos que
un padre dispara x tiros y que su hijo dispara y tiros.
x²-y²=45, (x-y)(x+y)=45.
Combinaciones de factores posibles: (x+y): 45, 15, 9 con
(x-y):1, 3, 5.
De donde, fácilmente:
Yo: 9 tiros, mi hijo, José: 6 tiros.
Juan: 23 tiros, su hijo, Julio: 22 tiros.
Pablo: 7 tiros, su hijo, Luis: 2 tiros.
Se tiraron 39 tiros y se marcaron 1183 puntos.
38. EL VASO DE VINO. Una cuarta
parte.
39. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Cuatro
chovas y tres estacas.
40. LIBROS DESHOJADOS. 232 páginas el
primero y 124 páginas el segundo.
41. LA CUADRILLA DE SEGADORES.
Tomemos como unidad de medida el prado grande.
Si el prado grande fue segado por todo el personal de la
cuadrilla en medio día, y por la mitad de la gente en el resto de la
jornada, se deduce que media cuadrilla en medio día segó 1/3 del prado.
Por consiguiente, en el prado chico quedaba sin segar 1/2-1/3=1/6. Si un
segador siega en un día 1/6 del prado y si fueron segados 6/6+2/6=8/6,
esto quiere decir que había 8 segadores. (Conviene hacer un dibujo)
42. EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. De b)
y c) se obtiene que una lanza se cambia por 2 escudos. Si esto se
completa con a) resulta que un collar se cambia por un escudo. Por tanto,
una lanza equivale a dos collares.
43. NEGOCIANDO POLLOS. Una vaca vale
25 pollos. Un caballo vale sesenta pollos. Ya deben haber elegido 5
caballos y 7 vacas, que valen 475 pollos, y como tienen lo suficiente
como para conseguir 7 vacas más, le quedan 175 pollos, lo que haría un
total de 650.
44. PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Las piezas
son de 1, 2, 4, 8 y 15 denarios de valor.
Indicando con 1 la moneda que tiene la patrona, y con 0 la
moneda que tiene el hombre, la situación diaria se puede expresar como
sigue:
|
Valor de la moneda |
15 |
8 |
4 |
2 |
1 |
|
Día 1º |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Día 2º |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Día 3º |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
Día 16º |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Día 17º |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
Día 29º |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
Día 30º |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Este cuadro hace
evidente que el estado contable en cualquier día puede deducirse de la
expresión binaria (en base 2) del número correspondiente.
Para poder
tomar los exámenes
de este tema
debes estar
registrado, si
no lo estás,
[Registrate
aquí]
|
|
