Si construimos diferentes triángulos rectángulos como el de la figura 1, (triángulos cuyo ángulo a sea igual pero con lados de tamaños diferentes) y calculamos la relación entre sus lados, veremos que la relación es independiente del tamaño del triángulo.
A la relación BD/OD se le llama seno (se escribe sen a )
A la relación OB/OD se le llama coseno.
A la relación BD/OD se le llama tangente.
A la relación OD/BD se le llama cosecante (es la inversa del seno).
A la relación OD/OB se le llama secante (es la inversa del coseno).
A la relación OD/BD se le llama cotangente (es la inversa de la tangente).
El área del círculo construido con centro en O y radio OD (que para abreviar llamaremos R) es igual a p R2 , luego el área de un sector circular de ángulo 2a será a R2 y si tomamos R como la unidad, el área del sector circular de ángulo 2a será a . Llamémos x al área del sector circular de ángulo 2a (que hemos visto es igual a a ).
Entonces el sen a = sen x = BD, cos a = cos x = OB, tan a = tan x = AC.
Resulta que la ecuación de una circunferencia de radio 1 (y centro en el origen) es x2 + y2 = 1 y la ecuación de una hiperbola equilatera de radio 1 (y centro el origen) es x2 - y2 = 1. Como veis son muy parecidas, por lo que a alguien se le ocurrió definir las funciones seno hiperbólico (sh), coseno hiperbólico (ch) y tangente hiperbólica de x (siendo x el área sombreada de la figura 2) de la siguiente manera:
Sh x = BC
Ch x = OB
Th x = AD
Es muy importante darse cuenta que x es una superficie no un ángulo. Esta superficie se calcúla mediante cálculo integral.
Pues resulta que por una razón que todavía desconozco BC = (ex -e-x)/2,
OB = (ex +e-x)/2 y AD = (ex -e-x)/ (ex +e-x).