Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.
Cuando la variable es un número complejo, al función se llama función de variable compleja.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.
Dada una función de variable compleja, w = f(z), no es posible representar, a la manera clásica, la gráfica de esta función pues tanto los valores de la variable independiente z como de la función son puntos en un plano. Para representar las funciones de variable compleja se utilizan dos gráficas: en una se sitúan los puntos (z) correspondientes a la variable independiente y en la otra los puntos (w) obtenidos con la función.
Esta forma de representar la función se puede entender la función (f) como la transformación que se produce al aplicar a los puntos de origen la función.
Sea la función w = Az, en el que A es una constante compleja y z una variable compleja.
Expresando A y z en la forma exponencial:
A = a eia
z = r eib
Entonces w = ar ei(a + b)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que la distancia de los puntos z al origen de coordenadas ha sido aumentada o disminuido por el factor a y girados al rededor del origen un ángulo a.
Sea la función w = z + A.
Expresando A y z en forma binaria:
A = a1 + ia2
z = z1 + iz2
Entonces w = (a1 + z1) + i(a2 + z2)
Si dibujamos en un plano varios puntos (serían los puntos z) y en otro plano los puntos w obtenidos al aplicar la función, veremos que los puntos z han sido desplazados según el vector A.
Sea la función w = 1/z .
Cuando aplicamos esta función a la recta x = c obtenemos la circunferencia
(u - 1/2c)2 + v2 = (1/2c)2.
Cuando aplicamos esta función a la recta y = c obtenemos la circunferencia (v - 1/2c)2 + u2 = (1/2c)2.
Si aplicamos la función w = 1/z a las circunferencias anteriores obtendremos las rectas correspondientes.