Suma de inversos de potencias de números enteros
Fecha de primera versión: 04-02-02
Fecha de última actualización: 19/04/2010
1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n - 1) + ...
Esta suma parecería que tiene límite porque si hacemos la suma hasta n = 500.000 obtendríamos 13,7 y si hacemos la suma hasta n = 1.000.000 obtendríamos 14,4, sin embargo, Jackob Bernoulli y Johann Bernoulli demostraron que la suma aumenta sin fin, o dicho en términos matemáticos: es divergente.
1/12 + 1/22 + 1/32 + ... + 1/(n - 1)2
+ ...
Esta suma fue intentada por Jackob Bernoulli sin éxito. El problema se hizo famoso y fue conocido por 'El problema de Basilea'. Fue resuelto por Leonard Euler 30 años después de su planteamiento. Dicen que cuando Euler encontró la solución escribió a su amigo Nicolás I Bernoulli para comunicárselo. Nicolás al conocer la noticia se puso a trabajar en la resolución y halló una nueva demostración, que, al ser conocida por otros matemáticos le dio gran fama a Nicolás..
La suma es p2/6.
1/14 + 1/24 + 1/34 + ... + 1/(n - 1)4 + ...
Euler encontró también la solución: p4/90.
1/16 + 1/26 + 1/36 + ... + 1/(n - 1)6 + ...
Euler encontró también la solución: p6/945.
Euler encontró la suma de las potencias pares hasta n = 26 y encontró su dependencia con los números de Bernoulli.
La suma 1/n2k = (-1)k - 1( 2p)2k B2k / 2(2k)!.
Para las potencias impares no se ha encontrado solución.