Cambio de base de un vector

Fecha de primera versión: 27-10-01
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 + ...

Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:

u1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn
u2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn
.............................................................
un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda:

x = m1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn ) +  m2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn) + ... 

Reordenando queda:

x = (m1a11 + m2a12 + ... + mna1n)v1 + ... + (m1an1 + m2an2 + ... + mnann)vn 

Comparando con la fórmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3 + ... deducimos que:

n1 = m1a11 + m2a12 + ... + mna1n
n2 = m1a21 + m2a22 + ... + mna2n
.................................................................

nn = m1ann + m2an2 + ... + mnann

Esto se puede expresar de forma matricial:

n1     a11 + a12 + ... + a1n       m1 
n2 = a21 + a22 + ... + a2n       m2 
.....    ........................................

nn    a2n + an2 + ... + ann       mn 

Llamando A a la matriz de coeficientes, X' al vector en la base B2 y X al vector en la base B1 nos queda:

X' = AX 

despejando X nos queda:

X = A-1X'