- no es igual
por: Dra. Luz M. Rivera
Una igualdad es una oración
matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:
x + 6 = 10
Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
- no es igual
< - menor que
> - mayor que
- menor o igual que
- mayor o igual que
Una desigualdad que tiene
variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x + 3 < 7
(La punta del signo <
siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4,
4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1 < 6
1 + 5 < 6 + 5
¿Esto es cierto? Sí.
Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue
cierta.
Otro ejemplo:
2 < 6
2 + -9 < 6 + -9
Esto es también cierto.
Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número
negativo.
Otro ejemplo con resta:
7 > 4
7 - 3 > 4 - 3
La desigualdad sigue
siendo cierta al restar un número negativo.
Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de la desigualdad:
2 < 8
2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un
número es igual que sumar su opuesto.
2 + 3 < 8 + 3
5 < 11
La
desigualdad es cierta
al restar un número negativo de ambos lados
Multiplicación con números positivos:
3 < 7
3 ·
6 < 7 · 6
La desigualdad es cierta
al multiplicar un números positivos en ambos lados.
Multiplicación con números negativos:
4 > 1
4 · -2 > 1
· -2
-8 > -2 falso
Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.
División con positivos:
3 < 9
3 < 9 Si dividimos
ambos lados de la desigualdad por 3
3 3
1 < 3
La desigualdad es cierta.
División con negativos:
4 < 12
4 <
12 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
-2
-2
-2 < -6 falso
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2 > -6
Ahora la desigualdad es cierta.
En resumen, se invierte el
signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación
para verificar si el número dado es solución.
Ejemplo 1:
x + 3 < 6 ; x = 5
x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]
5 + 3<6 [ Simplificar]
8 < 6
¿ 8 es menor que 6?
No. Entonces, 5 no es una solución.
Ejemplo 2:
x - 3 8
; x = 11
11 - 3 8
8 8
¿8 es mayor que 8?
No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación
y podemos concluir que x=11 es una solución.
Ejemplos:
Resolver la inecuación.
Ejemplo 1:
x + 4 < 7
Hay que resolver la inecuación
x < 7 + - 4
Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x < 3
Quiere decir, que x es menor
que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los números menores
que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de
soluciones de esta inecuación es un conjunto infinito.
Ejemplo 2:
x - 9 8
x 9 + 8
x 17
x es mayor o igual a 17 es la
solución.
Ejemplo 3:
3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
3x < 12
dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
3 3
x < 4
Entonces, x es menor que 4 es la
solución.
Ejemplo 4:
-2x -6
Para deshacer la multiplicación de x por -2, se
-2x -6
divide ambos lados de la inecuación por -2.
-2 -2
x 3
Como el número dividido
era negativo, se invierte el signo.
Ejemplo 5:
3x - 1
2x + 4
Hay que combinar términos semejantes.
3x + -2x
1 + 4
Resolver.
x 5
Ejemplo 6:
4x + 9 6x - 9
4x + 9 6x + -
9
4x + -6x -9 + -9
-2x -18
-2 -2
x 9
Resolviendo Desigualdades
Ejemplo: Resolver x - 3 > 2.
x - 3 > 2
x + - 3 >2
Recuerda que restar un número
es igual que sumarse el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x + 0 > 5
x > 5
Se resuelve tal como si fuera
una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < ,
, , .
y las propiedades de la desigualdades.
Ejemplo:
2x - 4 3x + 1
2x + -4 3x + 1
2x + -3x 4 + 1
-x 5
x -5
Ejemplo:
Resolver -2x
-34.
-2x
-34
Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
-2 -2
de se
invierte a .
x 17
Ejercicios de Práctica:
A. Verificar que el número dado hace cierta la ecuación.
1. x >
3 ; 5
2. x + 7
2 ; -8
3. 2x + 3
7x + 1 ; 2
4. 3x - 2
x + 7 ; 1
5. 6x
18 ; 3
C. Resuelva.
1. x + 7 > 9
2. 2x + 3
x + 6
3. -6x + 7
x + 9
4. -6x
-72
5. 1 x - 9
> 2 x + 6
3
3
6. -6x + 9 < -2x + 8
7. -2x + 8
12
Soluciones:
A.
1.
x > 3 ; 5
5 > 3 Esto hace cierta la ecuación.
2.
x + 7 2 ; -8
-8 + 7 2
-1 2 Esto no hace
cierta la ecuación.
3.
2x + 3 7x + 1; 2
2(2) + 3 7(2) + 1
4 + 3 14 + 1
7 15 Esto no hace
cierta la ecuación.
4.
3x - 2 x + 7 ; 1
3(1) - 2 1 + 7
3 - 2 1 + 7
1 8 Esto hace cierta la
ecuación.
5.
6x 18 ; 3
6(3) 18
18 18 Esto no hace cierta
la ecuación.
B. Resuelva.
1.
x + 7 > 9
x + 7 + -7 > 9 + - 7
x + 0 > 2
x > 2
2.
2x + 3 x + 6
2x
+ - x -3 + 6
x 3
3.
-6x + 7 x + 9
-6x + -x -7 + 9
-7x 2
-7 -7
x - 2
7
4.
-6x -72
-6x -72
-6 -6
x 12
5.
1 x - 9 > 2 x + 6
3
3
1 x + -9 > 2 x + 6
3
3
1x + - 2 > 9 + 6
3 3
-1 x > 15
3
(3) -1 x > 15(3)
3
-x > 45 (divide por -1 en ambos lados y se invierte el
signo)
x < -45
6.
- 6x + 9 < - 2x + 8
-6x + 2x < -9 + 8
-4x < -1
-4 -4
x > 1
4
7.
-2x + 8 12
-2x 12 + -8
-2x 4
-2 -2
x -2
