MATEMÁTICAS INTEGRADAS 1

MÓDULO 2 LECCIÓN 1: POLINOMIOS

  Definición:                                                                                                                                                                                                                                                                               

Las expresiones algebraicas se sub-dividen en monomios y  polinomios. El monomio consiste de un sólo término,mientras que el polinomio está compuesto por más de un término. El polinomio,  a su vez, está clasificado de acuerdo a la cantidad de términos (binomio y trinomio) y por el grado de la expresión. El polinomio  implica sólo las operaciones de suma, resta, multiplicación y elevación de número naturales a potencias en la variables y constantes.

Forma general del polinomio:

Podemos considerar a un polinomio como una expresión con variable que se obtiene mediante las dos operaciones básicas (suma y producto) en el dominio donde está definido.

Anteriormente se consideraba:

Monomio: Expresión algebraica que consta de un término.
Binomio: Que tiene dos términos.
Trinomio: Con tres términos.
Polinomio: Que tiene cuatro o más.

Es muy común que gente que maneja matemáticas tenga un concepto similar a este, el cual está muy lejos de la realidad.

A pesar de que el concepto de polinomio es muy simple es conveniente que veamos algunos antecedentes para formalizarlo y poder comprenderlo mejor.

Primeramente empezaremos por analizar los siguientes ejemplos.

Es sorprendente la cantidad de personas que no contestan correctamente la primera vez si les preguntamos, cuáles de los anteriores son polinomios. Más aún es sorprendente encontrar a uno que conteste correctamente, y estamos hablando de alumnos de ingeniería, maestros, y en general personas que manejan polinomios con regularidad.

2, 5, 7, 8, 10, 13 y 14 son polinomios, los demás no.

Los ejemplos 1,3 y 4 no son polinomios porque tienen un radical. 6 y 9 no son polinomios porque aparece una división entre una expresión con variable. 11 y 12 no son porque aparece una función trascendente.

Nota: Tanto en 7 como en 14 podría pensarse que no son polinomios pues aparece una división, pero considerando el dominio como el campo de los números reales o complejos, el cociente es en realidad un producto entre una variable y un número, porque el dominio tiene inversos multiplicativos.

Indiscutiblemente que para definir polinomio primeramente necesitamos saber cuál es el dominio porque por ejemplo en el caso 7 es un polinomio sobre los números racionales pero no sobre los enteros, igualmente 14 es un polinomio sobre los números complejos.

El dominio es un conjunto de números, aunque también puede ser cualquier estructura algebraica con dos operaciones que cumpla las propiedades de Anillo.

Así los dominios más comunes son los Números Enteros (Z), los Números Racionales (Q), los Números Reales (R) y los Números Complejos (C). En matemáticas avanzadas es común estudiar los polinomios sobre extensiones finitas de los Números Racionales o sobre dominios integrales de algunos de estos campos.

Una vez que tenemos el dominio consideramos una variable x; esto es, un símbolo que representa cualquier elemento de dicho dominio.

Definición: Un polinomio de una variable sobre un dominio D es una expresión de la forma:

{$ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $}

o en forma abreviada

{$ sum_{k=0}^n a_k x^k $}

donde los {$ a_i $} son elementos del dominio D.

Como podemos ver la expresión polinómica utiliza únicamente las operaciones de adición, y multiplicación; por lo que podemos definir polinomio de una forma equivalente.

Polinomio: Expresión algebraica sobre un dominio D que se obtiene mediante un paso finito de operaciones de suma o multiplicación entre la variable y elementos del dominio.

Nota: Al decir suma, como en el dominio tenemos inversos aditivos, hablamos de suma algebraica, por lo que está incluida la resta. Sin embargo no se permite la división entre una variable, y por supuesto tampoco raíz cuadrada o alguna función trascendente, como seno, logaritmo, etc.

Conceptos Relacionados:
Grado de un polinomio
Operaciones con Polinomios

Otra forma de definir polinomio es considerar x como un elemento fuera del dominio y un polinomio sería una lista ordena o tuplo-n. De esta forma definimos la suma y producto de polinomios y podemos asociar la variable con un elemento del dominio y formar una función polinómica.

Hay que tener mucho cuidado, porque aunque todo mundo los identifica, polinomio y función polinómica son dos cosas distintas. Polinomio es la expresión algebraica y función polinómica es la relación de elementos del dominio formada a partir de la expresión polinómica.

Sobretodo debemos tener en cuenta que no es lo mismo Identificar que Confundir, podemos utilizar polinomio y función polinómica indistintamente siempre y cuando podamos distinguirlas.

Finalmente otra forma de definir polinomio es utilizando Induccion Matematica.

  Práctica dirigida:

      Observa la siguiente expresión. ¿Cuántos términos tiene? Esta expresión tiene tres (3) términos (los términos están separados por una suma o resta). Una de las clasificaciones de los polinomios es por la cantidad de términos. Si la expresión tiene dos términos se conoce como binomio. Si tiene tres términos se conoce como trinomio. Sin embargo a nivel general, el concepto polinomio se asigna a las expresiones con dos términos o más. En este ejemplo, los términos del trinomio son:

 El coeficiente es el factor constante en un término. Si no aparece un factor constante en el término,

entonces el coeficiente es uno. Haciendo referencia al ejemplo anterior, los coeficientes son:

      La variable es representada con una letra y es el factor que posee la potencia o exponente. En el ejemplo anterior la variable es la x. En un polinomio la variable no puede estar en un denominador, como un exponente o dentro de un radical. Un término puede tener una o más variables y podemos conocer el grado del término y el grado de la expresión.

o   Términos con una variable: El grado del término es igual al grado de la variable.

o   Términos con dos o más variables: El grado del término es la suma de las potencias de las variables de ese término.

Por lo tanto, la segunda clasificación de los polinomios es el grado del mismo. El grado del polinomio se otorga de acuerdo al grado mayor de los términos. El grado de los términos y del siguiente trinomio son:

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