MATEMÁTICAS INTEGRADAS 4

Ángulos

Modulo 1

GRADO 12

Ángulos

El término Trigonometría se deriva del lenguaje griego. Significa medida de triángulos. Inicialmente, su uso tenía que ver con las relaciones entre los lados de triángulos y sus ángulos. Se utilizó mucho en el desarrollo de la astronomía, la navegación y en las medidas topográficas.

Actualmente, con el desarrollo del Cálculo y las Ciencias Físicas, sus aplicaciones trascendieron a las inicialmente expuestas y ahora incluyen la explicación de fenómenos físicos tales como ondas, rayos, el estudio y análisis de orbitas de planetas y de partículas atómicas.

Comenzaremos la discusión de este tema o concepto con el estudio de los ángulos. Un ángulo se determina, rotando un rayo alrededor de su vértice. El punto de partida es el lado inicial, y la posición obtenida luego de la rotación es su lado terminal.

   El   punto inicial es el vértice, el rayo fijo es el lado inicial del ángulo.  El rayo que gira, al completar la rotación se convierte en el lado terminal del ángulo. 

Cuando el lado inicial descansa encima del eje de x's, decimos que el ángulo se encuentra en posición estándar. Los ángulos positivos ocurren rotando el lado terminal en contra de las manecillas del reloj, mientras que en los ángulos negativos su lado terminal rota a favor de las manecillas del reloj.

Decimos que un ángulo está en posición ordinaria o estándar cuando su vértice es el origen de un sistema de coordenadas rectangulares cartesianas y su lado inicial es la parte positiva del eje de abscisas. 

En los diagramas C y 0 se ilustran los ángulos con medidas de -225° (Lado terminal en el cuadrante II) y -150° (Lado terminal en el cuadrante III).

Si un ángulo mide m grados entonces la parte entera de la fracción m/360 es igual al numero de vueltas que el lado terminal da, en contra 0 a favor de las manecillas del reloj, dependiendo del signo de m

Dos ángulos cuyos lados terminales coinciden, se conocen como ángulos coterminales.  Luego, la medida de dos ángulos coterminales diferentes en múltiplos de 360° si está medido en grados o múltiplos de 2 si la medida es en radianes.    Los ángulos cuyos lados terminales coinciden en el mismo lugar aunque no tengan las mismas medidas, se dice que son ángulos coterminales.  

Ejemplo:

En la siguiente tabla se incluyen 6 ángulos coterminales al ángulo que mide 45°, tres de ellos tienen medidas positivas y los demás tienen medidas negativas.

Medida de ángulos

De la geometría conocemos que existen ángulos agudos, obtusos y rectos. Los ángulos agudos son aquellos que miden menos de 90°, los obtusos son los que miden más de 9 0° y los rectos Son los que miden exactamente 9 0° .Sabemos también que existen ángulos complementarios y ángulos suplementarios. Los c complementarios son aquellos que suman 9 0°, y los suplementarios los que suman 1 80°.

Otra manera de medir ángulos en en radianes. Se dice que un ángulo mide un radian, cuando su medida es equivalente a la longitud de arco formada cuando el lado terminal de dicho ángulo interseca la circunferencia de un círculo de radio r.

Existen diferentes sistemas de medidas para los ángulos.  En las calculadoras, normalmente, aparecen tres unidades de medidas a saber.

Unidad  Corresponde al ángulo que se genera a través de

·         1 grado                  =     parte de una rotación completa

·         1”grad”                 =     parte de una rotación completa

·         1 radian                 =    rotar el radio de un círculo hasta que el arco sostenido por el ángulo central tenga igual longitud que el radio.

Esto permite establecer la relación entre grados y radianes:

Esta conversión es importante ya que en la práctica ordinaria se usa la medida de grados mientras que en la teoría, tanto en matemática como en ciencia, se usa el radián.

De manera análoga dividiendo la expresión por 360 a ambos lados, tendríamos la siguiente expresión:

 Por  lo tanto, simplificando esta fracción, y si recordamos que por conveniencia r = 1 tendríamos que

Esto nos lleva a las siguientes reglas que podemos utilizar para cambiar medidas de  ángulos de grados a radianes y viceversa. Para cambiar de grados a radianes, simplemente multiplicamos la medida en grados que tenemos por

Si queremos cambiar de radianes a grados, multiplicamos la medida en radianes que tengamos por                

Ejemplos:

1. Cambie la medida del ángulo que mide 45° a radianes.

2. Cambie la medida del ángulo que mide     radianes a su equivalente en grados.

Por cuestión de conveniencia, presentaremos las siguientes equivalencias de medidas de ángulos en grados y radianes por la utilidad que su conocimiento tiene en el estudio de la trigonometría.

Ejemplos:

Convierta las siguientes medidas de grados a radianes.

Ejemplos:

Convierta las siguientes medidas de radianes a grados.

Longitud del Arco. Área del Sector Circular y Círculo Unitario

De esta definición de radián se puede deducir el siguiente resultado para la geometría del círculo: Considera un ángulo central  en un círculo de radio r que sostiene un arco de largo s.

Ejemplo:

Encuentre la longitud del arco de un círculo con radio 10 m que subtiende un ángulo central de 30°. 

Ejemplo:

Un ángulo central  en un círculo de radio igual a 4m está subtendido por un arco de longitud igual a 6m.  Obtenga la medida de  en radianes.

Área de un sector circular

Ejemplo:

El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen del plano cartesiano.  Su ecuación es . Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas  de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. 

 Círculo unitario con los valores de las coordenadas para los ángulos principales                                                

Ejemplos: 

Ejemplo:

Aplicación

1- Veinte pies de soga se deslizan por una polea haciéndola girar. Si la polea tiene un radio de 6 pulgadas, contesta lo siguiente:    Halla un ángulo coterminal para el ángulo de la parte a, pero que mida menos de 6.28.

2- Calcula las medidas en radianes equivalentes a las siguientes medidas en grados. Luego identifica en que cuadrante se debe encontrar el lado terminal de cada ángulo

a) 15°   b) -30°   

3- Calcula las medidas en grados equivalentes a las siguientes medidas en radianes.

a) 4       b) -10      

4- Veinte pies de soga se deslizan por una polea haciéndola girar. Si la polea tiene un radio de 6 pulgadas, contesta 10 siguiente:

¿Cuál es la medida exacta del ángulo en radianes que giro la polea?

Halla la medida en grados para el ángulo que hallaste en la parte a.

Solución

1-28.8

2- a- 0.262       b- -0.523

3- a-   720°      b-  -1800°

4-   a- 40°        b- 2291.83°

1- Si TR = 12. Halla la longitud de cada arco

a- ATR            b- TAR           

2- Halla el área del sector circular 3 y 5

3- Halla un ángulo coterminal para el ángulo de la parte a, pero que mida menos de 6.28.

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