Á L G E B R A

Para poder tomar los exámenes

de este tema debes estar

registrado, si no lo estás,

[Registrate aquí]

Entrar a exámenes de:

ÁLGEBRA. Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a. C.. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes.

        El idioma del álgebra es la ecuación.

        Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico»

        También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha traducción. He aquí alguno de ellos:

La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil.
Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como se verá.

Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc. No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.

1.    LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:
 

2.    EL CABALLO Y EL MULO. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?
 

3.    LOS CUATRO HERMANOS. Cuatro hermanos tienen 45 dólares. Si el dinero del primero se aumenta en 2 dólares, el del segundo se reduce en 2 dólares, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de dólares. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?
 

4.    EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?

5.    COMERCIANTES DE VINOS. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana, el primero de ellos dio 5 barriles y 40 dólares, mientras que el segundo dio 2 barriles, recibiendo 40 dólares como cambio. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero?

6.    EL PRECIO DE LOS HUEVOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos, por los que pagó 60 dólares Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos, con lo que el precio le resultó 12 dólares más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?

7.    LOS DIEZ ANIMALES. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato, cinco. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay?

8.    LOROS Y PERIQUITOS. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?

9.    CARROS Y MOTORAS. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre CARROS y MOTORAS. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos CARROS y cuántas MOTORAS se repararon?

10.    MONDANDO PAPAS. Dos personas mondaron 400 papas; una de ellas mondaba tres papas por minuto, la otra dos. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una?

11.    EL PRECIO DE LOS LIMONES. Tres docenas de limones cuestan tantos dólares como limones dan por 16 dólares. ¿Cuánto vale la docena de limones?

12.    LA MÁQUINA DE FLIPPER. Unos amigos, antes de echar una moneda en una máquina de FLIPPER, han calculado que, para hacer partida, tienen que conseguir 392.750 puntos cada uno. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que, para obtener la deseada partida, los restantes amigos deben de conseguir 471.300 puntos cada uno. ¿Cuántos eran, inicialmente, los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?

13.    TINTEROS Y CUADERNOS. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 dólares Luis ha pagado 46 dólares por 3 tinteros y 4 cuadernos. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno?

14.    LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones, y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera?

15.    VENTA DE HUEVOS. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo. Con esto terminó la venta, porque la campesina no tenía más huevos. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina?

16.    LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas. Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio?

17.    LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de judías, y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total?

18.    PASTELES PARA LOS INVITADOS. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. En lugar de cortar ningún .pastel a trozos, decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos, y tres a cada uno de los demás invitados. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos?

19.    LOS PASTELES. Ana y Carlos están merendando pasteles. Ana tiene el triple que Carlos. Carlos no estaba muy conforme. A regañadientes, Ana, dio uno de sus pasteles a Carlos. Ahora todavía tenía el doble que Carlos. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total?

20.    MÁS PASTELES. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Diego tiene la mitad que Carlos. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno?

21.    VENGA PASTELES. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa. A continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes. Quedaron 8 pasteles para Ana. ¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos?

22.    PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestas 12 dólares más que cuatro grandes y siete pequeños. ¿Cuánto cuesta un pastel grande?

23.    SOLDADOS DEL REGIMIENTO. En un regimiento hay 4.000 soldados. Se licencian un cierto número de ellos. De los que quedan sabemos que el 63,636363...% tiene carnet de conducir y que el 92,2297297297...% no usa gafas. ¿Cuántos soldados se licenciaron?

24.    ENCUESTA SOBRE EL VINO. Se hace una encuesta para saber si es rentable comercializar vino en polvo y vino en cubitos con los siguientes resultados: El 72,727272...% de las personas encuestadas no compraría vino en polvo y, el 74,594594...% de las personas encuestadas, no compraría vino en cubitos. ¿Cuál es el número mínimo de personas a las que se pasó la encuesta?

25.    LA REVENTA. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de recargo. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla, se gana un 5% sobre el recargo que pagó. ¿De acuerdo?

26.    ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Una mercancía encareció un 10% y luego abarató en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de encarecerla o después de abaratarla?

27.    ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Una mercancía se abarató un 10% y luego se encareció en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de abaratarla o después de encarecerla?

28.    GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. Un tratante de arte americano vendió un día dos cuadros por novecientos noventa dólares cada uno. Con uno sacó un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. "Eso significa que hoy me he quedado igual que estaba", se dijo. ¿Estaba en lo cierto?

29.    HÁMSTERES Y PERIQUITOS. El dueño de una pajarería compró cierto número de hámsteres y la mitad de ese número de parejas de periquitos. Pagó los hámsteres a 200 pesetas cada uno, y 100 por cada periquito. Para su venta al público, recargó el precio de compra en un 10 por ciento. Cuando tan sólo le quedaban siete animalitos por vender, descubrió que había recibido por los ya vendidos exactamente lo mismo que había pagado por todos ellos inicialmente. Su posible beneficio viene, pues, dado por el valor colectivo de los siete animales restante. ¿Cuál es el posible beneficio?

30.    PASTELES SOBRE LA MESA. Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles. Ana se comió la mitad y uno más. Blas se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Carlos se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Diego se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Con esto se acabaron los pasteles. ¿Cuántos había sobre la mesa?

31.    PASTELES COMO PAGO. Una empresa contrató a un empleado para trabajar durante 26 días. Estipularon que por cada día que trabajara, recibiría 3 pasteles, pero por cada día que holgazaneara no sólo no recibiría ninguno, sino que tendría que darle uno a la empresa. El empleado terminó ganando 62 pasteles. ¿Cuántos días trabajó?

32.    OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. A unas oposiciones al Ayuntamiento de Salamanca, se presentaron 37 candidatos. Todos los residentes en Salamanca capital consiguieron plaza y su número representaba el 95% del total de aprobados.
         ¿Cuántos aprobaron y cuántos eran de Salamanca capital?

33.    EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. Una verdulera de legumbres tenía la costumbre de atar sus espárragos con un bramante de 30 cm. de longitud y formaba así manojos que vendía a 80 dólares cada uno. Cómo esos manojos le parecían demasiado pequeños, dio en utilizar bramantes de doble longitud y, en consecuencia, vendía sus manojos de espárragos a 160 dólares cada uno.
         ¿Calculaba bien la verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada manojo de espárragos?

34.    MIDIENDO UN CABLE. Al tratar de medir un cable que tenía en casa, observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. ¿Cuántos metros medía?

35.    VESTIDOS A GOGÓ. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia divididos por los que tiene Ana. Alicia posee 42, pero tendría 8 veces los que tiene Gema si tuviera 14 más. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia?

36.    LOS DOS BEBEDORES. Un inglés y un alemán beben de un barril de cerveza por espacio de dos horas, al cabo de las cuales el inglés se queda dormido y el alemán se bebe lo que resta en 2 horas y 48 minutos; pero si el alemán se hubiera dormido en vez del inglés y éste hubiese continuado bebiendo, habría tardado en vaciar el barril 4 horas y 40 minutos. ¿En cuánto tiempo se lo hubiera bebido cada uno?

37.    JUEGO EN FAMILIA. Mis amigos Juan y Pablo, con nuestros hijos Julio, José y Luis, disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir: si alguien tiró 10 tiros anotó diez puntos en cada tiro). Cada padre se anotó 45 puntos más que su hijo. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo. ¿Cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se marcaron? ¿Cuántos tiros se tiraron?

38.    EL VASO DE VINO. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte; vuelve a llenarlo con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. Lo llena por segunda vez de agua y entonces bebe la mitad del vaso. ¿Cuánto vino puro le queda por beber, considerando la capacidad del vaso?

39.    LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Llegaron las chovas y se posaron en estacas. Si en cada estaca se posa una chova, hay una chova que se queda sin estaca. Pero si en cada estaca se posan dos chovas en una de las estacas no habrá chova. ¿Cuántas eran las chovas y cuántas las estacas?

40.    LIBROS DESHOJADOS. Un escritor ha compuesto dos libros que suman, entre los dos, 356 páginas. El formato del primero es de 20x15 cm., y el del segundo de 17x12. Si extendiesen las hojas de los dos libros, cubrirían 4'2264 m². ¿Cuántas páginas tiene cada libro?

41.    LA CUADRILLA DE SEGADORES. Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados, uno tenía doble superficie que el otro. Durante medio día trabajó todo el personal de la cuadrilla en el prado grande; después de la comida, una mitad de la gente quedó en el prado grande; y la otra mitad trabajó en el pequeño. Durante esa tarde fueron terminadas las dos siegas, a excepción de un reducido sector del prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos segadores componían la cuadrilla?

42.    EL TRUEQUE EN EL AMAZONAS. En una tribu del Amazonas, donde todavía subsiste el trueque, se tienen las siguientes equivalencias de cambio:
          a) Un collar y un escudo se cambian por una lanza.
          b) Una lanza se cambia por tres cuchillos.
          c) Dos escudos se cambian por tres cuchillos.
          ¿A cuántos collares equivale una lanza?

43.    NEGOCIANDO POLLOS. Un granjero y su buena esposa están en el mercado para negociar sus aves de corral por ganado, sobre la base de que 85 pollos equivalen a un caballo y una vaca. Se supone que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas.
       Esposa: Llevemos otros tantos caballos como los que ya hemos elegido. Entonces tendremos tan sólo 17 caballos y vacas que alimentar durante el invierno.
       Granjero: Creo que deberíamos tener más vacas que esas. Más aún, creo que si duplicáramos el número de vacas que hemos elegido, tendríamos en total 19 vacas y caballos, y tendríamos la cantidad exacta de pollos para hacer el canje.
         ¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su esposa?

44.    PAGO EXACTO Y PUNTUAL. Un hombre tomó una posada por 30 días, por precio de un denario cada día. Este huésped no tenía otro dinero, sino 5 piezas de plata que todas ellas valían 30 denarios. Y con estas piezas cada día pagaba la posada, y no le quedaba debiendo nada a la patrona, ni ella a él. ¿Cuántos denarios valía cada pieza? ¿Cómo se pagaba con ella?

www.proyectosalonhogar.com

Para poder tomar los exámenes

de este tema debes estar

registrado, si no lo estás,

[Registrate aquí]