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  Trigonometría

 

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El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.

 

Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.

 

Originalmente, la  trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].

 

Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.

 

El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto:

Está cerca de un ancho río y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río?

La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B y mida con una cinta la distancia c entre ellos (la "base"). 

 Un antiguo telescopio
 de topógrafo (teodolito).

Luego extraiga el poste del punto A y sustitúyalo por un telescopio de topógrafo como el que se muestra aquí ("teodolito"), contando con una placa dividida en 360 grados, marque la dirección ("azimut") a la que apunta el telescopio. Dirigiendo el telescopio primero hacia el árbol y luego hacia el poste B, mide el ángulo A del triángulo ABC, igual a la diferencia entre los números que ha leído de la placa de azimut. Sustituya el poste, lleve el teodolito al punto B y mida de la misma forma el ángulo B .

La longitud c de la base y los dos ángulos A y B son todo lo que necesita para conocer el triángulo ABC, suficiente, por ejemplo, para construir un triángulo de la misma forma y mismo tamaño, en un sitio más conveniente. La trigonometría (de trigon = triángulo) en un principio fue el arte de calcular la información perdida mediante simple cálculo. Dada la suficiente información para definir un triángulo, la trigonometría le permite calcular el resto de las dimensiones y de ángulos.

¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.

Para topografiar una tierra los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, como la AB en el ejemplo del río, el topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los ángulos que se forman con el punto C y usar la trigonometría para calcular las distancias AC y BC. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más..., y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra la tierra al completo con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos. 

Un gran proyecto de reconocimiento de los 1800s fue la "Gran Planimetría Trigonométrica" de la India británica. Se construyeron para el proyecto los mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacían con extraordinaria precisión con 5 microscopios. Cada uno con su caja pesaba media tonelada y se necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste (las áreas entre las cadenas de dejaron para más tarde) y se necesitaron décadas para completarla.

En 1843 Andrew Scott Waugh se encargó del proyecto como Inspector General  y puso especial atención a las montañas del Himalaya del norte de la India. Debido a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no se consiguieron varias mediciones. Después de haberse hecho, los resultados necesitaron ser analizados laboriosamente por "computadores" en las oficinas de inspección; no eran máquinas sino personas que efectuaban los cálculos trigonométricos.  

La historia dice que en 1852 el jefe de los "computadores" fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos descubierto la mayor montaña del mundo". Desde una distancia de más de 100 millas (160 km), se observó la montaña desde seis estaciones diferentes, y "no dio lugar a que el observador sospechara que estaba viendo a través de su telescopio el punto más alto de la Tierra". Al principio se la designó como "Pico XV" por la inspección, pero en 1856 Waugh la denominó en memoria de Sir George Everest, su predecesor en la oficina de jefe de inspectores. El Everest fue el primero en registrarse y en usar los teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el "Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.

Hoy en día la posición sobre la Tierra se puede localizar de forma muy precisa usando el sistema de posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en órbita exacta, que están difundiendo constantemente su posición. Un pequeño instrumento electrónico de mano recibe sus señales y nos devuelve nuestra posición con un error de 10-20 metros ( aún es más preciso para usos militares, los patrocinadores del sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría, pero lo hace todo la computadora que está dentro de su aparato, lo único que usted necesita es pulsar los botones apropiados.

Ahora que conoce un poco de los usos de la trigonometría, bienvenido a avanzar por lo esencial de ella.

Nota: Los detalles sobre el descubrimiento del Monte Everest y la cartografía de la  India están tomados de "Who Discovered Mount Everest?" de Parke A. Dickey, Eos (Transactions of the American Geophysical Union), vol 66, p. 697-700, 8 Octubre 1985. El artículo se volvió a imprimir en la p. 54-59 de la History of Geophysics, Vol. 4, editada por C. Stewart Gillmor, publicada por la American Geophysical Union, 1990.

 

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